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你真的会解方程吗？今天我们从简单的解方程开始，为大家介绍一位英年早逝的数学家的工作，从这些工作中我们将看到优美的对称性，以及蕴含在其中的和谐奥妙。
撰文 | Marianne Freiberger
翻译 | Nothing
审校 | C&C
尼尔斯·亨里克·阿贝尔
1824年，一位年轻的挪威数学家尼尔斯·亨里克·阿贝尔取得了一个与某类方程相关的令人震惊的结果。不久之后，法国天才数学家埃瓦里斯特·伽罗瓦以深入的眼光证明了这一结果为什么是正确的——并在这个过程中开创了用数学研究对称性的先河。可惜两人都英年早逝，没有来得及享受他们的工作带来的好处。阿贝尔于1829年死于肺结核和贫困，时年26岁。伽罗瓦死于1832年，他在一场据称是为了争夺一个女人而进行的决斗中被杀死。当时他只有二十岁。
那么他们做出了什么样的工作？方程和对称性又有什么关系？
解方程
Solving Equations
虽然关于二次，三次，四次方程的通解公式看起来有些复杂，但是它们只包含了有限个运算操作：加、减、乘、除、开平方、开三次方、开四次方。
很显然，你接下来会问，我们可以为五次方程找到一个类似的通解公式吗？
更一般的，包含x高阶项的多项式方程的通解公式长什么样子？
伽罗瓦画像 在他死后16年的1848年，由他的兄弟根据记忆所作
我们想要的是一个公式，这个公式只包含加减乘除和求根操作。如果一个方程具有这样一个通解公式，那么我们说这个方程是有根式解的。
1824年阿贝尔证明的结论是：对于一般的五次方程，不存在根式解。当然，这并不意味所有的五次方程都是没有根式解的。例如，多项式方程：
阿贝尔证明了这一结果，但几年后，伽罗瓦才真正意识到为什么五次方程不存在根式解。伽罗瓦常被认为群论的奠基人，群论是一门研究对称性的数学。 我们通常认为对称性是一种视觉现象：一幅画或图案可能是对称的。但是对称性和方程有什么关系呢？答案有些微妙，但非常美丽。
不变的对称性
Unchanging Symmetry
首先，让我们思考对称性真正的含义。我们说一个正方形是对称的是因为我们将它绕着中心轴旋转90度，或者将它对于各种轴做反射操作并不会改变它的外观。所以对称性意味着没有变化：如果我们对某个物体进行某种操作之后并没有改变它，那么它就具有对称性。
当我们思考二次方程式，我们可以发现少许对称性。例如，二次方程
方程具有两个离散的解，但是某种意义上，它们非常相似：只需在一个解上加上一个负号就可以得到另一个解。也许交换两个解并不会带来什么不同，就像对正方形做镜像操作一样意味着一种对称性一样，交换方程的两个解也许也意味着某种对称性。但究竟是哪种对称性呢？
加入无理数
Including Irrationals
蝴蝶有对称性，方程也有对称性！
交换两个解
Switching Solutions
伽罗瓦群
Galois's Group
为什么你解不出一般的五次方程？
Why you can't solve the general quintic?
纪念伽罗瓦的法国邮票
伽罗瓦所能证明的是，一个方程是否有根式解，取决于它的伽罗瓦群的结构。有时候伽罗瓦群可以被分成更小的分量，它们和取n次方根有关。如果是这种情况，那么方程拥有根式解。
然而，如果它无法以恰当的方式分被解成更小的分量，如果你不能把对称性分离出来，那么你就找不到一个只涉及加、减、乘、除和求根的通解，在这种情况下，方程不存在根式解。
我们可以证明，五次方程并不能以恰当的方式分解。因此，五次方程不存在根式通解。对于包含x的更高次幂的多项式方程也是一样的：它们没有根式通解。用群论研究方程的解被称为伽罗瓦理论，这一理论以其发明者的名字命名。
本文经授权转载自微信公众号“中科院物理所”。
原文链接：https://plus.maths.org/content/stubborn-equations
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