撰文 | Afiq Hatta

翻译 | Nothing

审校 | Zhenni

拉格朗日量（Lagrangians，简称为拉氏量）是一种数学表达式，它包含了一个物理系统中几乎所有我们关注的信息。拉氏量通常具有对称性，这意味着当我们以某种特定方式转动或移动它们时，它们并不会发生改变。对称性和拉氏量非常重要，因为我们可以利用它们构造守恒量。

守恒量是在整个物理系统演化过程中保持不变的可观测物理量。

物理学家喜欢寻找守恒量，因为它们不仅具有深刻的哲学意义，还在解方程过程中非常有用。当你知道有些量保持不变时，用它们可以简化方程的求解。

旋转这样 “平滑”的对称性是连续对称性。诺特定理表明，对于每一个连续对称性，我们都可以构造一个守恒量。例如，如果一个系统具有旋转对称性，我们就可以得到角动量守恒。

更令人惊讶的是，诺特定理可以证明能量守恒是时间平移对称性的结果，时间平移不变性意味着拉氏量本身不显含时间。

换句话说，如果物理系统所处的背景不随时间改变，那么该系统的总能量将不随时间改变。

By Konrad Jacobs, Erlangen — CC BY-SA 2.0 de

对称性的概念在力学、经典和现代物理学中随处可见。例如，在量子物理学中，量子力学系统的对称性可以与量子角动量守恒对应。在电子理论中，电子的电荷和自旋守恒源于电子所遵循的对称性。

用数学如何详细描述对称性起的作用？首先，需要解释最小作用量原理，以及如果我们知道了拉氏量，我们如何用它来计算场的行为。

作用量和拉氏量

假设有一个粒子或场，在两个预先确定的时间点 t1 和 t2 之间演化。如果它是一个粒子，我们可以通过绘制一条在空间中延伸的路径来描绘粒子的演化过程，从时间 t1 开始，到时间 t2 结束。如果它是一个场，我们可以想象一个热力图随着时间慢慢演化。

通过这些粒子和场的行为，我们能知道些什么？我们怎么才能知道粒子将走什么路径？在物理学中，我们从一个可以描述物理系统的模型开始，其中典型的一种是拉氏量。拉氏量是一个数学量，它通常写成动能和势能之差，拉氏量在任何时间点都可以给出一个具体的数。我们之所以喜欢用拉氏量是因为它独立于观察者，不随参考系的改变而改变。观察者是正立的还是倒立的，或者以接近光速的速度移动，这些都不重要。通常，物理量的数值会因坐标选择的不同而不同；然而，拉氏量不随坐标的选择而改变，无论对于哪个观测者，它的取值都是一样的。和参考系无关的这种性质是非常有用的，因为它让我们可以进行清清楚楚的计算。

为了理解到底发生了什么，我们需要构造一个称为作用量（action）的量。例如，如果已知一个拉氏量，我们可以计算拉氏量在两个时间点之间的积分：

积分意味着将拉氏量在多个时间点上的值进行相加。从 t1 到 t2 之间的总积分被称为作用量。它通常用大写字母 S 表示。拉氏量前面的竖直曲线 ∫ 表示积分。

上面的表达式是作用量的数学定义。拉氏量通常是位置和位置的一阶导数的函数。希腊字母 φ 表示粒子在空间中的位置；第二项 ∂φ 是粒子位置的一阶导数，表示粒子位置随时间的变化率。拉氏量在几何上看起来是怎么样的？我们可以用一些插图来说明，通过这些插图可以了解关于它的一般概念。如果拉氏量只包含自由空间中的动能，对于不同于直线的路径，往往会得到更大的作用量。该图显示了粒子在时间 t1 和 t2 之间采取不同路径对应的作用量大小。正如您所看到的，最复杂的路径作用量最大。作用量最小的路径就是直线路径。

如何得出物理规律？

在我们眼中，拉氏量是数学对象，我们只把作用量看作是物理的。这有一个哲学上的原因。结果表明，不同的拉氏量可以产生相同的作用量。所以，在某些情况下，存在两个拉氏量，但只有一个作用量的情况。这意味着我们可以通过两个不同的拉氏量，得出相同的物理定律。为什么会这样？原因是，当我们对某些被称为“全微分”（total derivative）的数学表达式进行积分时，积分结果是零。

在下面的公式中，我们有一个作用量，被写成一个特定的拉氏量和一个全微分项。但是，我们可以把积分拆分成两个不同的部分。一旦我们把它分开，我们就消掉了全微分项，因为当我们积分时它变成了零。

这是一件令人兴奋的事情！这意味着，存在两个不同的拉氏量，在一个不那么严格的限制下，可以认为它们是“等价”的。我们不需要让它们完全等价就能得出相同的物理现象。如果拉氏量仅在“全微分”项上存在差异，则它们可以被看作是相互等价的。例如，在下图中，函数 f 、 g 和 h 都与全微分项有关，它们三个产生相同的作用量。（我已经用不同的颜色写出了这三个函数来表达这个观点。）

数学上，我们可以用下面的表达式来表达拉氏量之间“等价”，尽管它们之间相差一个全微分项。在下面的表达式中，函数 f 是可微函数。

如果对函数可以使用“变化率”的概念，那么这个函数就是可微的。如果函数值在某些地方发生跳跃、出现尖锐的拐点或没有良定义，那么就有可能不能使用“变化率”的概念，这种情况下，只有许多严格的数学条件被满足时，“变化率”的概念才变得可以接受。所有可微函数的集合为 C¹ 。关于微分和积分等运算是否具有良定义的研究称为数学分析，是一个令人着迷的研究领域。

欧拉-拉格朗日公式

“最小作用量原理”告诉我们，场或粒子的行为正是使作用量取极小值的行为。所以如果我们知道这个作用量，我们可以通过一些数学运算，求出使这个作用量取极小值时场的行为。有一个被称为变分法的数学分支，研究的是“函数的变化率”。（译者注：变分法告诉我们，场或粒子的行为可以用欧拉-拉格朗日方程导出。）粒子版的欧拉-拉格朗日方程如下所示。方程左边，我们首先取拉氏量对速度的偏导数，然后继续对其求时间的导数。方程右边，我们对拉氏量在空间中进行求导。然后让方程的左边等于右边，就可以得到一个令作用量取最小值的路径。

场论版的欧拉-拉格朗日方程和粒子版的很相似，方程如下所示：

它可以给出场在时空中的演化方式。
 

以下为译者注：

守恒量

前面我们介绍可以用对称性导出守恒量，接下来我们将介绍如何做到这一点。诺特定理告诉我们，每个对称性对应一个守恒量。如果物理系统具有时间平移不变性，也就是说拉氏量不显含时间，那么可以得到表达式：

等式左侧的括号里就是能量，它随时间的导数是零恰恰表明它不随时间改变。如果物理系统具有空间平移不变性，也就是说拉氏量不显含空间坐标，那么可以得到表达式：

等式左侧括号内正是动量，它不随时间改变，这就是动量守恒。

本文经授权转载自微信公众号“中科院物理所”。

原文链接：

https://www.cantorsparadise.com/noethers-theorem-and-the-principle-of-least-action-c84b789c51b6