“盖尔范德数学讨论班”由苏联传奇数学家盖尔范德三十岁时创立，一直到他1990年移居美国，持续举办了将近五十年的时间。盖尔范德把他的讨论班办成了选拔合作者及培养数学新秀的中心，培养了多位著名数学家并且在众多数学领域做出奠基性贡献。在倡导和践行“人类命运共同体”理念的今天，开展科研协作和学术合作共克时艰显得愈发重要和必要，盖尔范德数学讨论班树立了典范。让我们从数学历史的长河中汲取智慧，以便更好地开创数学乃至人类科学之未来。

撰文 | 邓明立、刘献军

伊斯雷尔·莫伊赛耶维奇·盖尔范德（Israel Moiseevich Gelfand，1913-2009）在二十世纪三十年代末开创了交换赋范环理论，以简洁优雅的代数风格新方法解决了调和分析中的一些经典问题，在国际数学界引起轰动，他还在此基础上开拓了抽象调和分析、一般谱论、C*-代数等一系列新领域。盖尔范德三十岁时建立了自己的数学讨论班，形成了自己的学派，在俄国数学界甚至全世界都具有着传奇的地位和影响。 
 

01、盖尔范德其人

盖尔范德1913年9月2日出生于乌克兰的一个小镇克拉斯尼奥克尼，一个贫穷的犹太人家庭。他在那里上小学，并进入中学继续读书。儿时的他像拉马努金（Ramanujan）一样，喜欢对数学问题做各种尝试。他之所以探索式地钻研数学，家庭困难没钱买书、市面上书籍匮乏是重要的原因。

他的兴趣不在于解决单独的一个个问题，而在于探究这些问题是如何关联起来的。在5、6年级的时候，他已经明白有些几何题是不能用代数方法求解的；他计算了弦长与弧长之比，制成了每隔5度的表格，实际上是自己制作了个三角函数表。在6年级初时，他注意到边长为3、4、5的是直角三角形，5、12、13也是直角三角形，就想求得边长为整数的全部直角三角形，最终得到了一般公式（毕达哥拉斯三元数组）。他在中学时就独立推出了欧拉－麦克劳林公式、伯努利数、前n个自然数P次幂的求和公式等，并养成了攻克难题后继续深入思考的习惯，对数学极感兴趣并展现出过人的天赋。15岁那年，他首次阅读了高等数学教材注释1，当他发现正弦可以用代数的级数形式表示时，他的观念发生了转折——“障碍被摧垮了，数学成为了统一的数学”。“在此之前，我认为有两类数学，代数的和几何的……当我发现正弦可以代数地表示为级数时，壁垒轰然倒塌，数学合二为一。直到今天，我看数学的各个分支，连同数学物理，都是整体中的一部分而已”。正是这种童年萌发的数学兴趣和思考方式形成了盖尔范德的研究风格——对数学统一与和谐的信仰以及数学浪漫主义的追求，引领他一路前行，他本人就是在这一时期形成了自己的研究方法，在数学及科学诸多领域做出了开创性贡献。
 

盖尔范德由于家庭原因没能完成中学教育，高中时辍学后在职业技术学校学习了大约两年。1930年2月，16岁的盖尔范德辍学去了莫斯科投奔远亲，靠打零工谋生，后来他在列宁图书馆找到了一份工作。在抵达莫斯科之前，盖尔范德的数学世界十分孤寡，能接触到的只有中学课文和一些社区大学课本。到莫斯科之后则不同了，闲暇时他都在图书馆读书，如饥似渴地补充此前没有学到的知识，同时废寝忘食地阅读现代数学书籍并钻研深刻的数学问题。盖尔范德对待数学已不再是那种“纯试验”性质了，新接触的现代理论使他受到了极大的冲击，“我的发展已不能由自己掌控了”。
 

盖尔范德的努力与勤奋引起了一位教授的注意，有一天，他又在列宁图书馆认真阅读，教授给了他几个数学问题让试着解决。等这位教授再次来到列宁图书馆时，盖尔范德展示了自己的解决办法，让教授感到非常惊讶，原来他给盖尔范德的问题中有一个是尚未解决的问题。这位教授就是大名鼎鼎的柯尔莫哥洛夫（Andreyii Nikolaevich Kolmogorov， 1903-1987），不但是杰出的数学家，而且是杰出的教育家，他具有把青年人才吸引到数学研究中去的魅力，培养出了许多优秀的数学家并形成了以他为首的数学学派。柯尔莫哥洛夫随即邀请盖尔范德到莫斯科大学去听讲座，还让他旁听数学课并参加他的数学讨论班。
 

莫斯科大学是当时苏联最大规模的数学研究中心，拥有一批富有开创性的数学家，在拓扑学、概率论、排队论、函数论、泛函分析、数论、数理逻辑与数值方法等领域进行了深入的研究。关于计算数学、控制论、程序设计、计算机系统自动化等方面的研究也代表了应用数学的研究方向。此外，科学史领域的研究在莫斯科大学也很受重视。在莫斯科大学盖尔范德感受到“数学中吹起对严格证明新要求的微风”，这与他此前拉马努金式的浪漫数学试验差距如此之大，对他有强烈的触动。讨论班上对证明的严格性要求以及实变理论的丰富结果，让他认识到自己研究范围狭窄的窘境，这刺激着他去努力阅读“现代且严格”的实变理论、数学分析、复变函数、椭圆函数论等教材。

盖尔范德在进入莫斯科大学后很快步入了冲刺数学顶峰的康庄大道。1932年，没有读完高中、未上过大学的盖尔范德被莫斯科大学破格录取为研究生，师从柯尔莫哥洛夫。当年起，他开始担任莫斯科大学数学系助教。柯尔莫哥洛夫让盖尔范德在新兴的泛函分析领域从事研究。1935年，盖尔范德以关于抽象函数和线性算子的论文获副博士学位注释2。在这篇论文以及稍早的另一篇论文中，他得到了泛函分析中不少基本结果，还在证明过程中建立了现在泛函分析中通用的借助连续线性泛函转化为经典分析中对象的方法。答辩通过后，盖尔范德被授予副教授职称，1935-1941年在苏联科学院授课。1938年盖尔范德仍以关于抽象函数和线性算子为题提交了申请博士学位的论文。在学位论文中，他创建了赋范环理论（现称巴拿赫代数）的基本框架。应用赋范环理论只用短短几行篇幅证明了维纳早先在一篇长文中证明的著名的非零绝对收敛傅立叶级数反转定理：如果一个不取零值的函数可展开为绝对收敛的傅里叶级数，则其倒数也可展开为绝对收敛的傅里叶级数。这展示了赋范环理论的巨大威力，1939年一发表就引起国际数学界极大兴趣。1940年，盖尔范德获得苏联物理数学科学博士学位。1941年，28岁的盖尔范德成为莫斯科大学的全职教授，在接下来的50年里他一直担任这一职务。盖尔范德于1990年移居美国、后在罗格斯大学数学系担任特聘教授。2009年10月5日，盖尔范德在新泽西州一家医院去世，享年96岁。

盖尔范德1953年盖尔范德当选为苏联科学院通讯院士，1984年当选为院士；1966年至1970年任莫斯科数学会主席。1967年他主持创办《泛函分析及其应用》杂志。他是许多著名科学院或学会的成员，其中有英国皇家学会、美国国家科学院、巴黎科学院、瑞典皇家科学院、美国数学会、伦敦数学会等。他还是牛津大学、哈佛大学、巴黎大学的名誉博士。盖尔范德一生荣获了很多奖项，包括1951年和1953年两次获得苏联国家奖，1956年获得列宁勋章，1978年获得了沃尔夫奖，1989年获得了京都奖，1994年获得麦克阿瑟奖，1999年获得俄罗斯国家奖，2005年获得美国数学会斯蒂尔终身成就奖。盖尔范德分别于1954、1962、1970年三次在国际数学家大会上做全会报告，这颇能说明他在当代数学发展中的突出地位。
 

盖尔范德被誉为二十世纪最伟大的数学家之一，对众多数学及科学分支做出了开创性贡献，一生发表800余篇论文及30多部著作。仅拿数学方面来说，盖尔范德共有467篇论文被《数学评论》收录，涉及40余个分支。特别是他在泛函分析方面的开创性工作，使得该领域在二十世纪得到了巨大的发展。他的工作为整个数学科学提供了重要的思想和深刻的见解，不仅影响了数学本身，而且为物理学的基本粒子和量子力学提供了不可或缺的数学工具。盖尔范德的数学研究工作有如下特点：
 

①洞察能力深邃，见微知著。盖尔范德善于把表面看来互不相关的事物联系起来，并指出进一步发展线索。他的研究往往是提出或发展基本概念，大部分研究被吸收融化到了当代数学发展的主流。
 

②研究领域广泛，令人惊叹。在二十世纪后半期，盖尔范德在很多领域发表了大量开拓性的论著。到1992年为止，他本人或与别人合作发表的数学论文近500篇，撰写的数学教材和专著18部之多。
 

③教研紧密相连，完美至极。盖尔范德经常讲授入门课程，上课时善于启发和提出问题，在讨论班上也不断提出深邃问题、寻找破解线索。

④合作伙伴众多，数量惊人。以盖尔范德个人名义发表的论文仅30篇，而同他联名发表论文的科学家共有206位之多（包括我国数学家夏道行）。盖尔范德确实深入到了每一篇论文所涉及课题的研究之中，合作者们赞誉道“提出课题时他是催化剂；论文撰写遇到困难时他是救火队；研究完成之际他是细致的且毫不留情的批评家”。

02、数学讨论班介绍

1943年起，盖尔范德在莫斯科大学组织了自己的数学讨论班。他把讨论班办成了选拔合作者及培养数学新秀的中心，最终发展成为闻名全球的“盖尔范德数学讨论班”。

①时代背景
 

由于历史背景及地缘因素影响，苏联成立后虽然废除了贵族制，但阶级或民族斗争是依然存在的。所以一方面大力推进和支持科教基础事业建设，另一方面对犹太人和持不同观念的“不受欢迎的人”采取了限制性政策，包括在大学招生、招聘和出版方面，甚至限制他们进入研究机构和大学工作。此外还存在限制外国旅行，大学课程模式僵化等情况。数学界为搞好数学教学和研究，在实践中探索了“一整套路径”，包括专业的高中教学网络；建立优秀高中生课外学习小组；组建非正式教育组织；拓宽一些数学出版物的稿件范围；在应用数学、计算和生物学机构的支持下建立纯数学研究小组；还有就是在正规机构之外讨论数学的实践活动，比方说去私人公寓或者郊外聚会等。
 

在上述探索“一整套路径”的努力中，举行高级数学专题公开讨论班发挥了关键作用，这在莫斯科大学习以为常。这些讨论班向所有人开放——从有才华的高中生到被禁止进入官方机构的学者，促进了代际和机构间的联系，凝聚了人心。这些公开的讨论班也在苏联数学发展中发挥了突出的作用。每一个讨论班都以它的领袖人物——一位杰出的数学家——为中心，他的个性对讨论班的特色有着决定性的影响。比方说莫斯科的弗拉基米尔·阿诺德（Vladimir Arnold， 1937-2010）、尤里·马宁（Yuri Manin， 1937-）、谢尔盖·诺维科夫（Sergey Novikov， 1938-），还有列宁格勒的弗拉基米尔·罗赫林（Vladimir Rokhlin， 1919-1984）等，都通过持续每周举办讨论班培养了大批优秀的学生。这些公开讨论班中规模最大、最有名气、最久负盛名的当属盖尔范德讨论班
 

②持之以恒
 

1943年起，盖尔范德在莫斯科大学组织了自己的数学讨论班。讨论班每年从九月初开始、到来年春季结束——“当他看到冰雪初融的时候”。会议于周一在莫斯科大学主楼的14层大礼堂（1408报告厅）举行。报告厅共有12排长凳，每排有11个座位，再额外加上几张凳子，满共不超过150个座。不少回忆录都说过“大概得有两三百人参加”，显然这是讨论班的重要性使得人们脑海中的人数“膨胀”了。

定期参加研讨班的人都有固定的座位。在前排的右边，坐着盖尔范德学派最有经验的成员，左边是才华横溢的年轻数学家。在左边的第二排通常坐着一位高中生，被分配担任“指定听众”的角色。盖尔范德喜欢让人们坐在固定座位上，并仔细检查屋内是否有新听众。
 

每次讨论班都由两部分组成：一个是晚上六点来钟开始的“预热”，预热阶段许多人聚集在礼堂入口或者走廊里聊天，交换书籍或文章。讨论班开始前盖尔范德在走廊里不停地走来走去，和同事们讨论着问题、抑或安排讨论班的事情。讨论班主题非常丰富多样。另一个是讨论班本身——从晚上七点左右盖尔范德入场开始。讨论班结束时间原则上到十点，但跟开始一样不确定、会晚得多，经常持续到晚上十一点甚至更晚。常常是清洁工推门进来想打扫卫生、“宣布”到点了楼层得上锁了，数学家们才不情愿地离开。这个点电梯也已锁闭了，大家在大厅里或者步梯上继续讨论，慢慢从14楼溜达下来。常常有一大群学生在讨论班结束后跟着盖尔范德，轮流着讨论自己想探讨的问题。盖尔范德也总是搭最后一趟地铁，留到最后的几个学生会陪着他到公寓门口，然后步行回家。
 

盖尔范德讨论班构成了一个不寻常的半公共、半私人的交际空间。它不受任何机构的限制，参加会议的有莫斯科大学内外的很多数学家，也包括一些独立学者。正如盖尔范德所说，他的讨论班是为“普通的高中生、体面的本科生、聪明的毕业生和优秀的教授们”准备的。事实上也确实如此，讨论班成员囊括了上述所有群体且都参与了讨论。

盖尔范德讨论班一直坚持了下来，直到盖尔范德1990年移居美国，但他把讨论班这个传统也带到了罗格斯大学。
 

③风格鲜明
 

刚才我们谈到讨论班“预热”部分，在不同的回忆录中，有的说是六点，有的说是七点，还有说是七点一刻的，但不管谁说几点、讨论班从来没有“按时”开始过。只有当盖尔范德走进报告厅门就关上了，讨论班才算正式开始。因为开始时间不定，所以大家都早早到来等待，或者在走廊里散步聊天，或者在大厅里交谈，或者凑在黑板前写算式。事实上大家都认为盖尔范德的拖延是“故意的”、是“节目的一部分”，好让诸位充分“预热”。

讨论班通常从盖尔范德讲一些数学轶事或者新闻开始，然后由一个受邀者开始演讲，每每都是没有留给其足够的时间去讲完，就被盖尔范德打断开始讨论或争辩，随后演讲者会逐渐淡出，取而代之的是盖尔范德指派一名学生来解释演讲的内容，或者指出应该怎么做。
 

讨论班最重要的特点是：只有当盖尔范德完全明了所讨论的课题的实质时，讨论班才告结束。因此每次时间长短是不固定的，有时会从晚上七点一直到深夜。在讨论的过程中，他总是提出一系列独特的、深刻的问题。通过盖尔范德的这些问题可以从多个角度了解讨论问题的实质。这样当讨论结束时，解决课题的新举措实际上已经完成；通过讨论，课题的线索被清晰地整理出来。从而不仅盖尔范德，参加讨论的大部分人都理解了讨论的内容。所以说，盖尔范德在讨论班上与大家合作开展研究，既是提出问题的“催化剂”，又是遇到困难时的“救火队”，还是研究完成阶段的“批评家”。

盖尔范德是个非常善于交际的人，但至于交往过程中对方内心幸福感多寡他却从不在意，因此他也常被贴上粗鲁无礼的标签。比如说，任何让他觉得没理解的主题或者解释不当的发言都会被严厉斥责，包括吐字不清或者字迹潦草亦是如此。金迪金（Simon Gindikin， 1937-）称讨论班为“一种由独特的舞台导演在演出中起主导作用并组织配角的剧院”；维希克（Anatoly Vershik， 1933-）描述其“就像独角戏，有时成功、有时坎坷”；内克拉索夫（Nikita Nekrasov， 1973-）认为这是一场“超现实主义的表演”；希里亚夫（Albert Nikolaevich Shiriaev， 1934-）称它“令人兴奋但又令人恐惧”。兰迪斯（Evgenii Mikhailovich Landis， 1921-1997）承认“盖尔范德忽略了细节”；瑞塔赫（Vladimir Retakh， 1948-）说在讨论班上“演讲者和参与者受到无情的嘲笑”；阿诺德说有时达到“极端不人道的程度”。

盖尔范德在谈论数学时确实会直截了当地表达不满，但是他的观念是“请让你的工作和你的自尊分开！”。换言之，不要将对所讨论内容的批评看作是对个人的批评、这完全是两码事。阿兰·吉查尔德特（Alain Guichardet， 1930-）回忆录还是比较中肯的。他说盖尔范德经常会打断报告，有时会提出问题，有时是让台下的年轻人去解释刚刚听到的内容。有一次吉查尔德特在讨论班上做报告，快结束时盖尔范德提了一个问题没答上来，盖尔范德很不客气地说：“你不懂数学！”。吉查尔德特回忆录中评价道，“如果你能忽略他的批评方式的话，他那活跃的但有时是咄咄逼人的追问，对问题的深入思考是非常有益的”。

④成效显著
 

盖尔范德讨论班借鉴了由十九世纪和二十世纪著名人物，如希尔伯特（David Hilbert，1862-1943）、克莱因（Felix Christian Klein， 1849-1925）、玻尔（NielsHenrik David Bohr， 1885-1962）、泡利（WolfgangErnst Pauli， 1900-1958）、兰道（Edmund Georg Herman Landau， 1877-1938）等人，主导的数学物理讨论班的悠久传统，培养了许多杰出数学人才，如恩德雷·塞梅雷迪（Endre Szemerédi， 1940-），亚历山大·基里洛夫（Alexandre Kirillov， 1936-），爱德华·弗伦克尔（Edward Frenkel， 1968-），约瑟夫·伯恩斯坦（Joseph Bernstein， 1945-），德米特里·富克斯（Dmitry Fuchs，1939-），以及他的儿子谢尔盖·盖尔范德（Sergei Gelfand， 1944-）等。

许多数学家对该讨论班有极高的评价：基霍米洛夫（Vladimir Mikhailovich Tikhomirov， 1934-）把它誉为“莫斯科大学机械数学学院历史上最伟大的讨论班······是科学史上最有成效的讨论班之一”。阿列克谢·索辛斯基（Aleksei Sosinskii， 1937-）赞之“可能是数学史上最好的讨论班”。作为参与者的兰迪斯称讨论班“热切地关注着世界上任何地方数学领域所有新事物”，阿诺德称讨论班“对莫斯科的数学生活产生了决定性的影响”。还有许多杰出的数学家对讨论班饱含深情，并将此经历视为至关重要的个人成长经历。

03、学术研究共同体的典范

所谓学术共同体是从科学共同体（scientific community）概念中引申出来的，指在共同科学规范的约束和自我认同下，根据实践原则和标准从事科学活动的科学家群体的一般抽象存在形式，最早由1942 年英国科学史和科学哲学家波朗尼（Michael Polanyi，1891-1976）在《科学的自治》一文中提出，之后美国科学社会学家默顿（Robert King Merton，1910-2003）和科学哲学家库恩（Thomas Samual Kuhn，1922-1996）对此做了深入研究和发展，得到学术界的广泛认同。学术共同体是具有相同或相近的价值取向、文化生活、内在精神和具有特殊专业技能的人，为了共同的价值理念、目标和兴趣，并遵循一定的规范而形成的群体。
 

在倡导和践行“人类命运共同体”理念的今天，开展科研协作和学术合作共克时艰显得愈发重要和必要。从数学历史的长河中汲取智慧，方能更好地开创数学之未来。盖尔范德讨论班与其它伟大的数学讨论班相比，特色之处就在于它的开放性。举办讨论班不是为了厘清独特的主题，也未必与盖尔范德当前的研究相关，而是这里可能蕴含着“未来的召唤”。盖尔范德的讨论班吸引了来自莫斯科和其它城市的数学家，实际上建成了一个数学俱乐部。盖尔范德讨论班的“预热”“演讲”“讨论”“思辩”等步骤或策略，使得大家能够非正式地交流新近的结果或想法，建成了一个思想交流中心。它就像个“股票交易所”，盖尔范德讨论班在多方面发挥了这一作用：作为交流思想的场所；作为确定其真实价值的论坛；作为一个报价板，展示对概念、猜想和证明技术的供求关系；比较经济地连接和平衡数学各个领域等等。这种自由开放的研究方式是盖尔范德讨论班的重要特征，正像他本人所说：“没有拴着的奶牛产奶更多。”
 

对于许多数学家来说做研究是相对孤独的，但盖尔范德创造了一个激动人心的环境，他与许多人对话、融入周围人的个人及其职业生涯之中，让人们感受到数学研究也可以是这样公共性或者说社会性的方式进行。同他联名发表论文的学者有两百多人。这么大规模“集体主义”的工作方法确实少见，盖尔范德以此建立起了自己的学派。对其进一步的深入分析和研究，对于指导科研实践一定大有裨益。

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[14] 李子彪，张静，李林琼. 科学共同体的演化与发展—面向“矩阵式”科技评估体系的分析. 科研管理， 2016年4月:11-18.

[15]http://www.claymath.org/publications/notes-talks-imgelfand-seminar

注释

1. 乌克兰文的伯利兹（Беляев）版《高等数学教程》第一册，内容包含微积分和平面解析几何。

2. 俄制副博士学位，俄语Кандидатнаук，在前苏联时期、现俄罗斯、乌克兰等流行俄式学制的欧亚国家颁授给研究生的学位，级别比硕士学位高，低于俄式学制的全博士学位。只有取得《高等教育毕业证书》同时获得如电子学、建筑学“工程师”、“经济师”、“农艺师”技术称号，称为“持文凭的专业人才”，获得此项证书后，通过考试或推荐，可以攻读副博士学位，一般3-4年，答辩通过后获科学副博士学位证书。获得副博士学位者经过一段时间的工作，通常5-10年成为某一学科学术带头人之后，有权申请科学博士学位答辩，如通过则可获得科学博士学位证书。根据我国国外学位认证规定，副博士学位（俄制）被认定相当国内大学或欧美日各国大学授予的博士学位。

本文经授权转载自微信公众号“观阴阳割裂总算数根源”。