1891年，伟大的数学家索菲亚·柯瓦列夫斯卡娅猝然离世，留给人间无尽的叹惋。这位数学天才，陪着表哥读书才有机会学数学，没有家人支持，靠“假结婚”才有机会读大学，这一切，只因为她是一名女性。
 

在索菲亚之后，女性进入数学领域已经越来越普遍，但她们所面临的不平等还需要进一步根除。希望有一天，女性在数学领域不再是边缘化的群体。
 

本文节选自《数学那些事儿》（人民邮电出版社，2022年3月版），标题为编者所加。

撰文丨威廉·邓纳姆（William Dunham，美国穆伦堡学院数学教授）

翻译丨冯速

如果读者一直在做统计， 那么很显然， 在本书中男性出现的次数多于女性。这种不平衡反映了数学科学中男性的历史优势。但是， 这是否就意味着女性过去对这门学科没有贡献， 现今没有贡献， 将来也不会有所贡献呢？

以上问题的答案是“不”“当然不”“请严肃点”。数学史中女性的身影可以追溯到古典时代，而今天女性比以往任何时候都活跃。女性想在数学界生存，就要面对男数学家几乎无法想象的障碍，不仅因为她们缺少鼓励，还因为对女性加入数学界的强烈抵制。

首先，我们承认，在历史上最有影响力的数学家的短短清单中，阿基米德、牛顿、欧拉、高斯等人清一色都是男性。在1900年之前，数学界的女性人数非常少。其中经常提到的是亚历山大的希帕蒂娅（Hypatia），她大约生活在公元400年。夏特莱侯爵夫人（Emilie du Chatelet，1706-1749）和玛丽亚·阿涅西（Maria Agnesi，1718-1799）活跃在18世纪，索菲·热尔曼（Marie-Sophie Germain）、玛丽·萨默维尔（Mary Somerville，1780-1872）以及爱达·洛夫莱斯（Ada Lovelace，1815-1852）活跃在19世纪初。19世纪中后叶，索菲亚·柯瓦列夫斯卡娅（Sofia Kovalevskaia，在文学作品中也被称为索尼娅·柯瓦列夫斯基）也跻身这一名单。

在这些女性当中， 希帕蒂娅是一位颇有影响力的几何学家、教师和作家，夏特莱侯爵夫人因为把牛顿的著作翻译给法国人而知名，萨默维尔因为把拉普拉斯的著作翻译给英国人而知名。1748年，阿涅西出版了数学教科书，为此得到了应有的认可。洛夫莱斯在查尔斯·巴贝奇（Charles Babbage）制造他的第一台“分析机”时与他一起工作。

热尔曼和柯瓦列夫斯卡娅是这个清单中最多才多艺的数学家。前者对纯数学和应用数学都有研究。我们在《Fermat/费马》这一章提到过她对费马大定理的研究。1816年，热尔曼凭借对弹力的数学分析工作而获得法兰西科学院的大奖。而柯瓦列夫斯卡娅取得了博士学位，并在大学担任职务，取得了她那个时代女性的开创性成就。在这一过程中，她在各方面赢得了曾经对她持怀疑态度的男性同事的尊重。
 

所以，在20世纪之前，女数学家肯定是存在的。令我们惊讶的不是她们人数很少，而是真的存在。因为女性不仅要克服对数学充满渴望的人要面对的通常意义下的种种障碍，即高级数学真实的困难，而且还必须克服各种各样的文化层面所带来的障碍。我们讨论一下挡住她们道路的三个最大的障碍。

第一个障碍是这一学科人群中对女性的普遍的负面看法，这一看法在不少男性和女性心中都已根深蒂固。其核心就是相信女性不具备做纯数学的能力。这样的观念已经深深印入很多人的大脑之中，其中不乏非常有影响力的人物。据说伊曼纽尔·康德就曾说，女性“动用她们漂亮的脑袋思考几何问题时”会长出胡须。这种评论出自一位如此重要的哲学家之口，实在令人气馁。遗憾的是，这样的看法在过去绝不是个案。在那个时代，很多希望学习三角学或者微积分的高中女生都被指导老师、家长或朋友劝说去从事家政学或者英语这些所谓更适合女性思维方式的学科。不管你相信与否，这样的状况一直在持续。

证明女性不能从事数学研究的诸多证据之一是从事这一研究的女性很少。换句话说，数学界女性的缺乏被用来证明她们没有从事这门学科的能力。当然，这些说辞的理由是荒谬的。这与把第二次世界大战之前美国职业棒球大联盟中缺少非洲裔美国人归结为他们没有玩这种游戏的素质的观点是一样的。正如杰基·罗宾森、亨利·阿伦和其他很多人已经充分证明的那样，职业棒球大联盟缺少黑人球员不能证明他们缺乏能力，而只能说是缺少机会。

上面提到的具体人物充分说明了女性也能研究数学。我们可以用近来非常活跃的女性数学家来证明这一点。格雷丝·扬（Grace Young）在20世纪初高等积分理论的改进工作中起到非常重要的作用，朱莉娅·罗宾森（Julia Robinson）是希尔伯特第十问题的解决者，还有埃米·诺特（Emmy Noether）是20世纪最有成就的代数学家之一。女性不能研究数学的观点是没有根据的。

但是， 还有一个与此相关的观点就是女性就不应该研究数学。往好处说，那是在浪费时间；往坏处说，那是有害的。正如小孩子不应该走近高速公路一样，女性不应该走近数学。

我们以弗洛伦斯·南丁格尔为例，她后来在医学艺术领域赢得了声望。年轻的时候，她对数学表现出极大的热情，她母亲对此感到奇怪，于是问道：“数学对结了婚的女人有什么用？”正如我们在《Utility/实用性》这一章提到的那样，人类事业中没有什么比数学更有用的了。但是南丁格尔却被告知它是无用的。鉴于强加给19世纪女性的各种传统角色，数学无论如何都会被看成对她们毫无用处的了。

而且， 女性还被告知研究数学将有损她的社交魅力。更有甚者，据说有什么医学证据显示，思虑过多的女性其血液将从生殖器官转移到大脑，并造成非常可怕的后果。令我们好奇的是男性似乎不用担心类似的血液流动。

这类观点很快变成了行动，或者更准确地说，变成了阻碍行动的绊脚石。热尔曼不得不用一个男性化的笔名发表她的数学论文；柯瓦列夫斯卡娅尽管拥有不可置疑的能力，但最初还是得不到学术地位。甚至是伟大的埃米·诺特，她在德国哥廷根大学谋求低等职位时也遭到了冷遇。她的诽谤者坚决反对，也有人担心一旦女人走入这一大门，将带来无法阻止的倒退。为此，戴维·希尔伯特用下面一段巧妙的讽刺做了回应：“我不明白这位候选人的性别为什么成了反对她就职的依据。毕竟，我们这里是大学，而不是洗浴场所。”最终诺特得到了工作，而且这个数学团体（哥廷根大学）还活得相当好。

第二个障碍是缺乏正规教育。数学这门学科需要训练，高强度的训练。为了到达前沿，你必须从基础开始进发，对于数学这样既古老又复杂的学科，这需要花费几年的努力。在过去，很少有女性开始过这样艰辛的路程。因此，她们想在高级数学中取得成功几乎是不可能的。

男性又是如何学习这门学科的呢？他们通常接受家庭教师的辅导， 或者一对一的授课。我们已经看到莱布尼茨去请教克里斯蒂安·惠更斯，而欧拉与约翰·伯努利一起研究学习。这是培养把火炬传向未来的大师的过程。几乎没有女性有这样的机会。

而男性经过适当的训练之后进入大学，在那里他们的才干和能力将会得到进一步的培养。高斯就读于赫尔姆施塔特大学，旺策尔就读于法国巴黎综合理工学院，罗素就读于剑桥大学。

相比之下，热尔曼是一位非常有前途的人，却因为性别关系甚至被拒绝进入大学讲演礼堂。她只能在教室门口听课，或者向有同情心的男同学借笔记来抄，就这样，她秘密地跟上进度。用高斯的话说，她所取得的成功证明了她是一位“最具勇气”的女性。

因此，太多的女性根本没有实际接触过高级数学的世界。值得一提的是，上面提到的很多女性家庭都比较富裕，而且拥有相应阶层的优势。热尔曼可以随意使用她父亲的图书馆。萨默维尔偷听她哥哥的家教课程。这些富裕家庭的女儿们显然有权选择不去顺应那些更合时宜的传统。正如迈克尔·迪肯对贫穷女性的数学研究前途的评论：“贫穷和女性身份这一对绊脚石太沉重了。”

把这种情况与大致同一时期的女性作家的境遇比较一下会很有趣。读和写是贵妇人训练的一部分，尽管这只被看成必要的社交技巧，而不是通向艺术生涯的手段。但是，很多女性还是具备写作条件。如果有充足的时间，充足的训练和能力，她们也许会利用这些条件去进行诗或文学的创作。其中简·奥斯丁就是一个例子，她的作品是她对周围人的生活的仔细观察，并通过她非凡的才能加以提炼而成的。奥斯丁会读、会写，她是一位艺术家。她创作的著作使她跻身英国文学伟人之列。

很多女孩还是学习了一些初级的计算，这倒是事实。但是与文学训练不同，数学学习就到此为止了。高级数学的进步需要对几何、积分和微分方程等学科的了解，每一门学问都是以前者为基础的。如果没有相应的训练，几乎没人能够掌握它们。当女性的这种训练需求遭到拒绝时，她们也就无法拥有数学工具了。她们通向科学未来的大门被砰的一声关上了。我们将永远无法知道谁是数学界的简·奥斯丁，因为她缺少必要的正规教育而被数学抛弃了。

这一切都已经成为过去。现在情况如何呢？表面上的障碍已经消失，各大学也不再强制执行热尔曼所遭遇的针对女性的禁令。正相反，从美国各大学数学学科登记入学的数据来看，我们有理由乐观。在1990年到1991年的这一学年，美国研究机构授予了14661个数学专业本科生毕业证书，其中女生有6917人，约占47%。这几乎接近一半的比例在一个世纪前男性占主导的数学领域是不可想象的。

但当我们再看一看高级学位时，数据就令人很失望了。就在同一学年，女性只占获得数学硕士学位的人数的2/5，而且只占获得数学博士学位的人数的1/10。这种状况表明，尽管从数据上看接受本科教育的女性人数增长迅猛，但是她们很少能继续训练，进入研究生阶段，而从这里开始将产生明天的研究型数学家和大学教授，所以形势仍然是男女不平衡。

为什么女性很少能继续进入研究生院呢？从历史上看，很多女性立志当一名大学预科层次的老师，因此没有获得研究型学位的需要。在某种情况下，因为女性身处上述的各种观念之下，较低的自我评价的确对追求更高层次的成功产生了负面影响。勇气，以及找到能鼓舞自己并帮助自己扫除学习高级数学之路上的各种障碍的良师益友，是成功的关键。男性有太多同行和榜样，而女性在竞争激烈的学术领域中总是感觉很孤单。她们的正规教育之路在很多方面不同于她们的男性同伴。

甚至当女性战胜了各种负面的看法，获得了坚实的教育时，她们仍然面临很多障碍：女性要满足日常生活需求，却缺少全力从事她们工作的支持。

数学研究需要不受各方面干扰的大块时间。研究型数学家要花很长时间坐在那里思考。在过去如此，今天也是如此，但这样大块的时间不是所有人都拥有的。正如上面提到的那样，最简单的方法就是非常富有。据传说，阿基米德有部分锡拉库扎王族的血统。洛必达侯爵（Marquis de l'Hôpital，1661-1704）非常富有，能雇用约翰·伯努利在新兴微积分领域指导他，继而闻名欧洲。而我们上面所说的各位女性中，夏特莱侯爵夫人是一位女侯爵，洛夫莱斯则是一位女伯爵，阿涅西也是富人家的孩子。这些人当中没有人靠洗衣度日。

另一方面的支持来自欧洲的各家学会，这是那个时代的智库。来自柏林、巴黎、圣彼得堡的各家学会的赞助养活了无数学者。在柏林和圣彼得堡取得职位的欧拉就是一位利用这样的机会取得成功的数学家。

或者你有一份要求不高的工作，允许你在闲暇时间进行研究和沉思。我们已经提到过的莱布尼茨就是在巴黎的外交工作期间，寻找时间学习了数学并最终创造了微积分。地方法官费马似乎从来没有尽力做法院的工作，而是一心做数学研究。

总之，对于有潜力的数学家，有钱是无害的，成为学术团体的成员，或者只有部分时间用来工作，都是无害的。当然，今天对数学家的主要赞助来自研究型大学，这些机构提供办公室、图书室、旅行费用、想法相似的同事以及适度的教学任务。作为回报，学校希望数学家对这门学科的前沿进行深层次的思考。

对照一下女性的历史角色：在丈夫或兄弟在外面工作的时候待在家里，抚养孩子、做饭、缝缝补补和照料家务杂事。即使她们有数学方面的训练，又如何有时间去思考微分方程或者是射影几何呢？环境对她们的期望是完全不同的。

事实上，女性甚至很少有自己的空间。正如弗吉尼亚·伍尔夫在谈及这类话题的短文中提醒我们的那样，女性很少有独处、思考、写作（或进行数学研究）的空间。伍尔夫讲述了莎士比亚富有想象力的妹妹朱迪思的一个故事，她有与她哥哥一样的才能。在她的哥哥威廉全身心投入其作家生涯的时候，她的生活就是负责家庭的日常需要。据伍尔夫说，莎士比亚的妹妹和他一样敢作敢为，富有想象力，热切希望了解这个世界。但是她没有被送去学校。她没有机会学习语法和逻辑，只能读一点贺拉斯和维吉尔的东西。她偶尔拿起书……看几页。然后，她的父母就会走进来提醒她去补补长袜或者别忘了做饭， 而不要沉迷书本和纸墨。

兄妹俩，一个是支持的提供者，而另一个却是接受者。这种差别也太大了。

再说一下莱昂哈德·欧拉，13个孩子的父亲。必须有人来抚养孩子们，替他们换尿布，清洗他们的衣服。但是这个人不是莱昂哈德。再看一下斯里尼瓦瑟·拉玛努金（1887-1920），他是20世纪初一位非常有才华的数学家。但在日常生活中，他却像一个孩子那样无助，他的妻子照顾他生活中的每一件事情。再看保罗·埃尔德什，这个人我们在《Arithmetic/算术》那一章遇到过，他在21岁时才学习如何往面包上涂黄油。显然，他在进行数学发现的初期，得到了来自母亲的不同寻常的支持。

如果交换一下，情况又如何呢？欧拉夫人、拉玛努金夫人和埃尔德什夫人如果在数学上取得了成功，她们的另一半会满足她们的日常生活需要吗？如果这些女性已经成名，那么她们可以投入大块的时间去研究数学吗？没有人知道答案。但是，如果女性能够得到与这些男人相同的支持，那么她们之中会有更多人出现在数学编年史中。这是毫无疑问的。

在索菲亚·柯瓦列夫斯卡娅这位“20世纪前最伟大的女数学家”的生活中，上面提到的所有障碍，如数学教育方面的负面观念和困难以及缺少系统的支持，都出现过。
 

1850年初，柯瓦列夫斯卡娅出生在莫斯科，并在一个比较富裕的书香之家长大，她有一名英语家庭教师，并有机会学习数学。有一个很有趣的故事说，她卧室的墙上贴满了她父亲的微积分课程的旧讲义笔记。这位年轻的姑娘被这些奇怪的公式深深吸引了，它们就像朋友一样静静地围绕在她的身边。她发誓有一天一定要知道其中的秘密。

当然，这需要训练。一开始，她学习了算术。她被允许参加她堂兄的家教课程， 家人这么做基本上是为了劝诱她堂兄更加努力地学习。就这样，她获得了代数知识，而她堂兄还是学不会。接下来，柯瓦列夫斯卡娅从住在附近的物理学家那里借来一本他写的书看。在读这本书时，她遇到了三角学的困难，这是一门她几乎一无所知的学科。不愿意放弃但又得不到适当的指导，柯瓦列夫斯卡娅就从零开始做起了研究。当她的物理学家邻居意识到她在做什么的时候，他惊奇地发现， “她已经第二次创造了整个三角学这门学科”。

这样的成就显示了超凡的数学创造力。在她17岁的时候，她和她的家庭来到圣彼得堡。在那里，柯瓦列夫斯卡娅说服了反对她学数学的父亲，接受了微积分的家教课程。尽管她是一位女性，但是凭借如此的才能，她本应该立即进入大学。遗憾的是，对于一位19世纪的俄罗斯女性来说，她没有这样的选择权。
 

以现代的观点看，她对这些令人失望的事情的反应有些极端。在18岁的时候，她自己决定与一位准备前往德国的年轻学者“假”结婚，她希望通过这样的婚姻得到进一步接受高等教育的机会。这个男人是弗拉基米尔·柯瓦列夫斯基，一位自愿参与这次“虚假婚姻”的古生物学者，他认为这对女性解放有利。他们两个人动身去了海德堡大学，表面上维系着婚姻关系，事实上各自从事着自己感兴趣的研究。

柯瓦列夫斯卡娅在海德堡一如既往表现得非常出色，所以在1871年她瞄准了更高的目标：柏林大学，以及它令人尊敬的高级数学教授卡尔·维尔斯特拉斯（Karl Weierstrass，1815-1897）。下定了决心的柯瓦列夫斯卡娅安排了一次与这位世界著名学者的见面，恳求他的指导。维尔斯特拉斯在提出一些非常有挑战性的问题之后就把她打发走了，他不希望再见到她。
 

但是，他还是再一次见到了她。一周后，柯瓦列夫斯卡娅手里拿着答案回来了。用维尔斯特拉斯的评价说， 她的工作展示了“对维度的天才直觉……这甚至在过去的学生或者层次更高的学生当中都是很少见的”。她让这位当时世界最具影响力的数学家之一从她的怀疑者变为她的仰慕者。

由此，年迈的维尔斯特拉斯和年轻的柯瓦列夫斯卡娅开始了长期的合作。她的精力和洞察力赢得了他的尊敬，而且他还安排她与欧洲很多数学团体接触。在维尔斯特拉斯的指导下，柯瓦列夫斯卡娅开始研究偏微分方程、阿贝尔积分以及土星环的动力学。由于这些成果，1874年，她获得了哥廷根大学数学博士学位。她是第一位获得现代大学博士学位的女性。

一生中，柯瓦列夫斯卡娅不仅对数学感兴趣，而且对社会和政治公平等议题也感兴趣。作为一名自由主义活动的支持者，她支持女权运动和波兰人的独立。当时她给一家激进派报社写文章。在她丈夫的帮助下，她在1871年公社期间秘密进入巴黎，当时这座城市被俾斯麦的军队包围了。在这次冒险中，她被德国士兵的子弹击中了。到了巴黎，她病倒了，受了伤，还与这座被包围的城市的激进派领导人取得了联系。这就是一个渴望实现自己的社会信念的人物。
 

除了是科学家和革命者之外，她还是一位作家。柯瓦列夫斯卡娅写小说、诗歌、戏剧以及《童年的回忆》，后者是一本自传式的童年记录。她在俄罗斯度过了青春，因此她见到过陀斯妥耶夫斯基，在后来的生活中又认识了屠格涅夫、契科夫和乔治·艾略特。这位有社会责任感的数学家进入了著名的艺术圈子。

总之，索菲亚·柯瓦列夫斯卡娅拥有各种惊人的才能。聪明、果断、伶牙俐齿， 因此她被同时代人描绘成“简直是光彩夺目”。下图展示了这位有着超凡脱俗的人格魅力的女性， 人们创作了很多关于她的畅销书和电视连续剧。

邮票上的索菲亚·柯瓦列夫斯卡娅

如同所有连续剧一样，她的故事以喜剧开场却以悲剧收场。尽管她的婚姻背景很特殊，但是她与丈夫产生了真正的爱情， 这对夫妇于1878年生了一个女儿。但是五年后，一次生意上的失败使他损失了大量财产，之后，沮丧的弗拉基米尔·柯瓦列夫斯基吸食三氯甲烷自杀了。索菲亚成了寡妇和单身母亲。

幸运的是，她还是世界一流的数学家。在维尔斯特拉斯的另一名弟子米特格-雷弗勒的热情帮助下，她被指定到瑞典的斯德哥尔摩大学任教。1889年，她成为该校的终身教授，这在数学界对女性来说也是第一次。

在斯德哥尔摩的那段日子也并非没有困难。对女性固有的偏见又阻碍着她对进步事业公开而坚定的支持。那些保守的学者们因为对她的数学无可挑剔， 转而指责她与一位著名的德国社会主义者接触。而维尔斯特拉斯和米特格-雷弗勒也委婉建议柯瓦列夫斯卡娅采取更谨慎的政治态度。但是她没有这样做。
 

在数学这一边， 她被指名担任《数学学报》杂志的编辑， 她是担任这一职位的第一位女性。她与埃尔米特和切比雪夫（我们在《Arithmetic/算术》那章遇到过他）等数学家联系，并成为俄罗斯数学团体和西欧数学团体的重要纽带。1888年，柯瓦列夫斯卡娅获得法兰西科学院的鲍廷奖，获奖理由是她的论文《刚体绕固定点的旋转问题》，由此国际盛誉、媒体报道以及贺信迎面扑来。这样的喝彩声足以使她获得俄罗斯皇家科学院的会员资格（作为一名女性，在她的祖国，这样一个学术职位还不足以养活她）。

1891年，充满希望的未来似乎就摆在这位著名人物的面前，但是没有想到的是灾难突然降临。在去法国的途中，柯瓦列夫斯卡娅开始咳嗽，好像患了普通的感冒。但是，当她返回斯德哥尔摩时， 在阴雨和寒冷的气候条件下， 她的身体状况变得更糟。回到家里，她变得太虚弱以至于无法工作。一次昏迷过后，1891年2月10日，柯瓦列夫斯卡娅去世，年仅41岁。
 

一如既往，当这样一位天才永远地离去的时候，她给世人留下了惊叹、无尽的怀疑和没有实现的梦想。整个欧洲传来了人们的赞美之声，随之而来的悲伤也是真诚的。我们无法估计柯瓦列夫斯卡娅原本还能为数学做出什么样的贡献，我们也无法知道这样的贡献会使这门学科中的女性地位提高多少。

柯瓦列夫斯卡娅这样的天才是罕见的，但是自她去世后，在20世纪，女性进入数学领域已经越来越普遍。但随之出现了一个麻烦的问题。我们把本章献给女性数学家，是否反而令她们更显边缘化，反而被当作异类？我们是否应该有罪恶感呢？随着众多女性进入医学和法律等专业领域， 很少有人谈及“女医生”或“女律师”。在本章，我们并不是说数学职业应该分成两组：数学家和女数学家。这当然不是我们的意图，而且它也不是真实的现状。但是，有这样的危险。
 

这是朱莉娅·罗宾森的观点。随着她声望的增大，当她进入美国科学院并获得麦克阿瑟奖的时候，她被视为在男性领地上获胜的女性。在一篇非常重要的短文中， 她写道：“所有这些关心都令人愉快，但也令人感到困惑。我就是一名数学家。我更希望仅仅因为我证明了一些定理或者解决了一些问题而被记住，而不是因为我是第一位这样、那样的女性。”

尽管需要进一步根除女性所面对的不平等，但我们有理由对实现罗宾森的愿望充满信心。很多偏见和障碍正在消失，投身数学的女性已经开始增多。即使这个问题没有得到完全解决，但是不可否认，进步已成事实。我们希望在不远的将来， 提出“女性在哪里？”这样的章节会被认为完全没有必要。

作者简介

威廉·邓纳姆（William Dunham）是美国穆伦堡学院数学教授，代表作有《微积分的历程：从牛顿到勒贝格》《天才引导的历程》。邓纳姆博士曾获得美国数学协会颁发的“乔治·波利亚奖”“特雷弗·埃文斯奖”和“莱斯特·R. 福特奖”。《数学那些事》荣获美国出版商协会的“数学佳作奖”。