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俄国数学家阿诺德是20世纪最伟大的数学家之一,师承另一位伟大数学家柯尔莫哥洛夫,其天才可见于不满20岁即解决希尔伯特第13问题。阿诺德一生贡献颇丰,开创了多个数学领域,许多成就直接应用于物理学领域,开创了物理学研究的新局面。

本文是1995年对阿诺德的一次采访,他回忆了自己学生时期,云集在莫斯科国立大学的诸多数学大师;他自己的数学英雄;也谈到了不同风格的数学研究和教育,并一如既往地反对了布尔巴基学派和美式的研究风格。在这些轶事中,我们亦能看出他闪出的智慧火花。

 

撰文 | S. H. Lui

翻译 | 哪咤

 

Utilius scandalum nasci permittur quam veritas relinquatur.

(即使有引发丑闻的风险,也应该说实话。)

——Decretalium V of Pope Gregory IX, 1227–1241

 

弗拉基米尔·阿诺德(Vladimir Arnol’d)目前是斯捷克洛夫数学研究所(Steklov Mathematical Institute)和巴黎第九大学决策数学研究所(CEREMADE)的数学教授。阿诺德教授于1961年在莫斯科国立大学获得博士学位。他在动力系统、奇点理论、稳定性理论、拓扑学、代数几何、磁流体力学、偏微分方程等领域做出了基础性贡献。阿诺德教授获得了许多荣誉和奖项,包括列宁奖(Lenin Prize)、克拉福德奖(Crafoord Prize)和哈维奖(Harvey Prize)等。

阿诺德(Vladimir Arnol’d,1937-2010) 图片来源:mccme.ru

此次访谈于1995年11月11日进行。读者可能会对如下文章感兴趣:

1)《对话弗拉基米尔·阿诺德》[Conversation with Vladimir Igorevich Arnol’d, S. Zdravkovska, The Mathematical Intelligencer, volume 9, pages, 28–32 (1987).]

2)《数学三艺》[A mathematical trivium, V. I. Arnol’d , Russian Math. Surveys 46:1 (1991), 271-278.]

3)《俄罗斯数学还能坚持吗?》[ Will Russian mathematics survive?. V. I. Arnol’d, Notices of the AMS 40:2 (1993). ]

4)《为什么是数学?》[Why Mathematics? by V. I. Arnol’d Quantum, 1994.]

5)《数学还能坚持吗?在苏黎世大会上的报告》[Will mathematics survive? Report on the Zurich Congress, V. I. Arnol’d, Mathematical Intelligencer, volume 17, pages 6–10 (1995).]Lui:请告诉我们一些您早期的教育情况。您从小就对数学感兴趣吗?

阿诺德:俄罗斯的数学传统可以追溯到古老的商人问题。很小的孩子,甚至在对数字一无所知之时就开始思考这些问题了。五到六岁的孩子都很喜欢,也能解出来,但对于受过正规数学训练的大学毕业生来说,可能太难了。一个典型的例子是:

你从一桶酒中舀出一勺酒,然后把它倒进一杯茶里。然后从茶杯里再舀一勺(不均匀!)倒回桶里。现在杯子里有一些酒,桶里也有一些茶。在你的操作结束时,杯子里酒的量与桶里茶的量,哪个更多?

稍微大一点的孩子,知道前面几个数字,比如下面这个问题:简和约翰想买一本儿童读物。简需要7分钱来买这本书,而约翰还需要1分钱。他们决定一起只买一本书,但发现钱还是不够。这本书的价格是多少?(要知道俄罗斯的书便宜!)

许多俄罗斯家庭都有给孩子出题的传统,有几百道这样的问题出给孩子们,我的家庭也不例外。而我第一次真正的数学体验是我们学校的老师I. V. Morozkin出了这样一个问题:两个老妇人在日出时出发,每个人都以恒定的速度行走。一人从A点到B点,另一人从B点到A点,它们在中午会合,一路不停,分别在下午4点和晚上9点到达B点和A点。这一天日出是什么时候?

我花了一整天的时间思考这个老问题,而答案是一个发现(基于现在所说的缩放推理(scaling arguments),维度分析(dimensional analysis)或环面簇理论(toric variety theory),这取决于你的品味)。我当时(1949年)做出发现后的感觉和所有后来做出更严肃问题的感觉完全一样——无论是发现实平面曲线的代数几何和四维拓扑之间的关系(1970年),还是发现焦散线的奇点(singularities of caustics)与波前(wave fronts)之间的关系,以及单李代数和Coxeter群之间的关系(1972年)。我对这种美妙感觉的渴望,曾经是,现在仍是我学习数学的主要动力。

Lui:在莫斯科国立大学学习是什么感觉?您能给我们讲讲这些教授吗?彼得罗夫斯基(Petrovskii)[注1]、柯尔莫哥洛夫(Kolmogorov)[注2]、庞特里亚金(Pontriagin)[注3]、克罗林(Rokhlin) [注4] ……?

阿诺德:上世纪五十年代我还是学生的时候,莫斯科国立大学力学和数学系(Mechmat)的氛围在S. Zdravkovska和P. L. Duren主编的《莫斯科数学的黄金岁月》(Golden Years of Moscow Mathematics)一书中有详细的描述,该书于1993年由美国数学学会(AMS)和伦敦数学学会(LMS)联合出版。书中包含了许多人的回忆。特别是,我的文章是关于柯尔莫哥洛夫的,他是我的导师。

当我在力学数学系学习的时候,一群伟大的数学家齐聚一堂,这是非常罕见的,我从未在其他任何地方见过这样的场面。有柯尔莫哥洛夫、盖尔范德(Gelfand)[注5]、彼得罗夫斯基、庞特里亚金、诺维科夫(P. Novikov)[注6]、马尔可夫(Markov)[注7],格尔丰德(Gelfond)[注8]、柳斯特尼克(Lusternik)[注9]、辛钦(Khinchin)[注10],还有亚历山德罗夫(Aleksandrov)[注11]等老师教学,学生中包括尤里·马宁(Manin)[注12]、西奈(Sinai)[注13]、诺维科夫(S. Novikov)[注14]、阿列克谢耶夫(V. M. Alexev)[注15]、阿诺索夫(Anosov)[注16]、亚历山大·基里洛夫(A. A. Kirillov)[注17],还有我。所有这些数学家都不同寻常!想理解柯尔莫哥洛夫的讲座几乎是不可能的,但他的讲座富含思想,真的很有意义!

柯尔莫哥洛夫关于现在所谓的哈密顿系统的KAM理论的工作,是他给所有二年级本科生必修练习的副产品。其中一个问题是研究某些非平凡完全可积的系统(如重粒子沿着水平旋转环面的运动)。当时没有电脑可用!他观察到,所有那些经典例子中的运动都是准周期性的,并试图在不可积的扰动系统中找到更复杂的运动(“混合”(mixing),或用今天的语言来说,“混沌”(chaos))的例子。  他的尝试没有成功。促使他研究的这个问题仍然是悬而未决的——没有人能够在一般受扰动的系统中找到携带混合流的不变环面。

然而,这项工作的副产品远比最初关于混合的技术性问题更重要。人们发现了持久性非共振环面(persistent nonresonant tori),“加速收敛”(accelerated convergence)方法和函数空间中相关的隐函数定理,许多哈密顿系统(例如陀螺仪和行星轨道)中运动稳定性的证明,以及托卡马克几何(Tokamak geometry)中存在磁性表面的证明,后者用于研究受控热核聚变的等离子体约束。

研究的结果比原来的问题更重要,这是一个普遍现象。哥伦布最初的目标是找到一条通往印度的新路。新大陆的发现只是一个副产品。
我在力学数学系读书时,庞特里亚金已经非常虚弱,但他也许是最好的讲师。他刚刚从拓扑理论转向控制理论,他的性格也发生了很大的变化。他后来在《俄罗斯数学调查》(Russian Mathematical Surveys[注18]上发表的自传中解释了他转向应用数学的原因和他的反犹太主义思想。当他向编辑委员会提交这篇文章时,克格勃(苏联国家安全委员会,KGB)代表建议不要按原文出版,因为其观点过于开放。我倒希望以原文出版,现在你找到的都是加工润色过的了。有些人声称,他的反犹太主义可能只是一种恐惧的表现,因为他可能有部分犹太血统,而担心会被发现。

然而,庞特里亚金并不总是这样!在战争期间,他最好的学生罗克林被德国人打伤并监禁。后来,罗克林被美国人解放,他回到苏联,继续在战争中的苏军部队服役。有一天,当他把一名被俘的德国军官移交上级时,遇到了一个醉酒的克格勃军官,他想立即开枪打死这名德国军官。罗克林表示反对。

幸运的是,罗克林被他的上级救了下来,上级立即把他调到了另一个团。然而最终,罗克林和所有被盟军从德国集中营中救出的人一样,被送到了俄罗斯北部的古拉格劳改营。几个月后,一个从劳改营中解放出来的人来到莫斯科,他告诉庞特里亚金,罗克林还活着,但在营中挨饿,已经奄奄一息。庞特里亚金在柯尔莫哥洛夫、亚历山德罗夫等人的帮助下,给克格勃领导人贝利亚(Beria)写了一封信,要求罗克林应该立即被释放,因为他是他们那一代最有才华的数学家。贝利亚签署了释放罗克林的命令,罗克林随后获得了一挺机枪,成了那个劳改营的警卫。庞特里亚金等人给贝利亚写了第二封信,罗克林最终得以返回莫斯科。

罗克林丨图片来源:wiki

罗克林从古拉格劳改营回来后,无权获得莫斯科的居民许可 (propiska)。(Propiska是俄语,意思是仅可在特定地区生活——一个人不能自由地生活在其他地方。每个人都要Propiska!)庞特里亚金完全失明,有权在莫斯科斯捷克洛夫研究所聘请一名私人秘书。他勇敢地把这个职位给了罗克林。罗克林后来成为苏联在拓扑学和动力系统方面的领袖数学家之一。罗克林对年轻一代的数学家(如诺维科夫、西奈、阿诺索夫和我)有很大的影响,他后来在圣彼得堡创建了一所非常重要的数学学院[注19]。他的一些杰出学生包括维尔希克(Vershik)[注20]、格罗莫夫(Gromov)[注21]、伊利亚什伯格(Eliashberg)[注22]、维罗(Viro)[注23],舒斯汀(Eugenii Shustin),图拉耶夫(Turaev)[注24]和哈拉莫夫(Kharlamov)[注25]。六十年代我在一次莫斯科举行的研讨会上见到了他。他从一百英里外来到莫斯科,他只能住在那里。

罗克林是犹太血统,通过假装自己是穆斯林在德国战俘营中幸存下来。事实上,他出生在阿塞拜疆的巴库。对庞特里亚金来说,为帮助罗克林而去找贝利亚是冒了极大风险的。即使在庞特里亚金成了反犹太人的积极分子以后,他对罗克林的评价依旧很高。我和庞特里亚金的私交很好。他邀请我去他家做客、参加他的学术讲座,他对我的研究真的非常感兴趣,特别是奇点理论(Singularity Theory)。部分原因是我们在微分拓扑、控制论和博弈论方面的共同兴趣,还一个重要的原因,他想在国际会议上反对我。庞特里亚金当时是国际数学联盟(IMU)的苏联代表,他极力阻挠数学会选举持不同政见的苏联学者。(我被列入黑名单,因为我和其他99名数学家签署了一封信,抗议一位完全健康的苏联数学家被关进精神病院。这是消灭持异议分子的一贯手段。)IMU一直非常政治化,所以他得逞了。在庞特里亚金的回忆中,他透露有不少IMU官员表达过他们互相批斗的想法。我真想知道他们的名字。巧合的是,我现在处于他以前的位置,是俄罗斯在国际数学联盟的代表。

彼得罗夫斯基当时是大学校长,他常在学术讲座前与罗克林在电梯里相见。我觉得他被人看见和罗克林在一起是挺危险的。当时彼得罗夫斯基的学术不再活跃,但是他对莫斯科数学界是极为重要的,他总是为了支持真正的数学家们而与共产党官僚们进行艰难的抗争。

他的数学品味相当古典,更多基于意大利学派的代数几何而非集合论。迈克尔·阿提亚爵士(Michael Atiyah)曾经告诉我,彼得罗夫斯基在其关于微分方程的著作中处理代数几何的方式,总是令他感到兴奋。其中一篇关于双曲偏微分方程空隙(the lacunas of hyperbolic PDEs)的论文,后来被阿提亚、博特(Raoul Bott)[注26]和加丁(Lars Gårding)[注27]用现代术语改写为两篇长论文,发表在《数学学报》(Acta Mathematica)上。这是对一众所周知的事实的深远概述——在偶数维空间中(例如,在“平面”世界)不可能进行声学通信,而在我们的三维世界中,这很容易进行。有趣的是,在这篇论文中,彼得罗夫斯基证明了代数簇的补的上同调类可以用有理微分形式表示,这个结果通常被归功于格罗滕迪克(Alexander Grothendieck)。

彼得罗夫斯基(在1933年和1938年)关于实代数几何的工作(与关于实的平面代数曲线形状的希尔伯特第16问题有关)开创了现代数学的一个重要分支——实代数簇的拓扑。这一理论的结果(例如,用方程的次数表示的Betti数的界)在许多数学分支中都非常有用,包括复杂性理论。例如,霍万斯基(Khovanskii)[注28]在其Fewnomial理论[注29],斯梅尔(StephenSmale)[注30]在“实的P-NP”问题研究中,都应用了这个理论。在西方,这些结果通常被认为属于托姆(Thom)[注31]和米尔诺(Milnor)[注32]1965年的工作,而彼得罗夫斯基和他的学生奥莱尼克(Oleinik)[注33]在四十年代发表的论文包含了更好的估计(顺便说一下,托姆和米尔诺引用了这些结果)。这是极为常见的情况——在当今的求职者中,很容易忽略引用俄罗斯的基础论文。

彼得罗夫斯基从来就不是苏共党员,这是大多数共苏联共产党人所不知道的。他的影响力很大,部分原因是他与以前学生的私人关系,他们在苏联的官僚系统中获得了非常高的职位。彼得罗夫斯基当选为苏联最高苏维埃主席团的成员,这是苏联的“集体领袖”。他在一次支持基础科学的会议上进行了长久斗争后,因心脏病发作倒在了莫斯科的党中央大楼门口。最后一句话是“我赢了。”

在他去世后,苏共和克格勃花了20年的时间来摧毁他在力学数学系建立起的数学中心。当局停止聘用优秀的人才担任教职,到今天他们也差不多终于毁掉了这个中心。Lui:能告诉我们您教授本科生和指导研究生的理念吗?您在俄罗斯和法国有多少研究生?

阿诺德:在我指导下进行博士论文答辨的有40个左右。由于几个原因,我不能给出确切的数字。在“停滞时期”,我不能在莫斯科大学指导外国研究生,因为我不是苏共党员。留学生仍然跟着我做研究,但名义上的导师是一些友好的党员,他们还因此拿了津贴。有些研究生有其他导师,但他们的论文源于我的研讨班上的主题,实际上是我的学生。比如S. M. Gusein-Zade、Yu. Ilyashenko以及A. I. Neistadt。目前,我在莫斯科有两个本科生和三个研究生,在巴黎有四个研究生。还有两三个计划从一月份开始。

我从学生,尤其是本科生身上,学到了很多东西。我从不给学生布置论文题目,那简直像包办婚姻一样。我只是向他们展示已知的和未知的。

我在莫斯科的学术讲座大约有三十位数学家参加,多数是我以前的研究生,也一直有其他人,即使我在国外,讲座也照常举行。这个讲座延续了大概30年了,不同时期的参加者有西奈,阿列克谢耶夫,诺维科夫,孔采维奇(Kontsevich)[注34],贡恰罗夫(Goncharov)[注35]、富克斯(D. B. Fuchs)[注36]、秋琳娜(G. Tjurina)[注37]、秋林(A. Tjurin)[注38]等。

莫斯科的生活非常艰苦,多数学生除了做研究外还不得不想办法挣钱谋生。有些人开始自己创业,但莫斯科犯罪率很高,自己开公司做生意还有性命之虞。我在莫斯科的一个研究生刚刚完成论文,还没来得及答辨,几周前失踪了。我们怀疑他是否还活着。Lui:你有崇拜的数学人物吗?

阿诺德:我要提到巴罗(Isaac Barrow)、牛顿(然而,他是一个非常不讨人喜欢的人——参见我的书《惠更斯与巴罗、牛顿与胡克》(Huygens and Barrow, Newton and Hooke),Birkhäuser出版社 1990年版)、黎曼(Bernhard Riemann),庞加莱(Henri Poincaré)、闵可夫斯基(Hermann Minkowski)、外尔(Hermann Weyl)、柯尔莫哥洛夫,惠特尼(H. Whitney)[注39],托姆、斯梅尔和米尔诺。有一半的数学家是我从克莱因(Christian Felix Klein)的《数学在19世纪的发展》(Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19)一书中了解的。我从许多数学家那里学到很多,比如盖尔范德、罗克林、诺维科夫、德利涅(P. Deligne)[注40]和富克斯;也从学生那里学到很多,比如霍万斯基、涅霍罗舍夫(Nekhoroshev)[注41]、 瓦尔琴科(Varchenko)[注42]、扎卡尔尤金(Zakalykin)[注43]、瓦西里耶夫(Vassiliev)[注44]、纪梵塔尔(Gievental)[注45]、戈柳诺夫(Goryunov)[注46]、谢尔巴科夫(O. Scherbak)、契卡诺夫(Yuri Vitalievich Chekanov)和卡扎里安(Maxim Eduardovich Kazarian)。

我深深地感激托姆,他在高等科学研究所(Institut des Hautes Études Scientifiques,IHÉS)举办的奇点研讨班,整个1965年我几乎全程参加,这个研讨班深刻地改变了我的数学观。托姆讨论数学的方式总是令我感到很愉悦,他使用的句子显然没有严格的逻辑意义。尽管我从未完全摆脱逻辑的束缚,但一直以来都被不负责任的、没有确切意义的数学思辨之梦所毒害。“人们总能找到笨蛋来证明定理”,根据托姆的学生的说法,这就是他的理念。米尔诺1961年在列宁格勒关于球面微分结构的演讲,给我的导师柯尔莫哥洛夫留下了深刻的印象,以至于他建议我把那些内容放在我的研究生课程中。这迫使我向诺维科夫,富克斯和罗克林学习微分拓扑。这派上了用场,因为一年后,我成为诺维科夫关于球面的乘积的微分结构的论文答辩评委之一。

斯梅尔是我1961年来到莫斯科时遇到的第一批外国数学家之一。他在动力系统方面的研究,对俄罗斯以及对我个人的影响都是极大的

Lui:您注意到不同文化背景的人研究数学的方式有什么不同吗?

阿诺德:多年来我一直没有意识到这些差异,但差异确实存在。几年前,我参加了在华盛顿特区举行的国际科学活动基金会(ISF)会议,该组织向俄罗斯科学家提供资助。一名美国与会者建议支持一些俄罗斯数学家,因为“他的工作很有美式风格”。我大为不解,并请他解释一下。“哦,”那个美国人回答说,“这意味着他经常出差,在各种会议上展示他的最新研究成果,并且让这一领域的所有专家都认识他。”而我的观点是,ISF应该更好地支持那些更有俄罗斯风格工作的人,即坐在家里努力证明基本定理,这些定理将是数学的永恒基石!
俄罗斯人的工资太低了(现在和过去都是),如果有人要从事数学研究,对他来说就这意味着数学是他的目标,而不是赚钱的手段。只要简单地改写西方所不知道的俄罗斯古典成就和思想(或将它们现代化),仍然有可能在西方数学界获得很高的声誉。

俄罗斯人对待知识、科学和数学的态度始终符合俄罗斯知识分子(intelligentsiya)的古老传统。这个词在其他语言中是不存在的,因为没有其他国家有类似的学者阶层,医生、艺术家、教师等等,他们对社会贡献所获得的回报,会远多于个人或金钱的利益。

我的朋友维尔希克在巴黎,他最近想要办美国签证。“你在圣彼得堡的薪水是多少?”美国领事馆的工作人员问道。在听到他诚实的回答后,工作人员又问:“就这点工资,你还想说服我们你会回到圣彼得堡吗?”维尔希克回答说:“当然。钱不是全部!”工作人员非常震惊,维尔希克随即获得了签证。

一周前我也在申请签证,他们把我放在等候名单上,要等上三周。理由是我的论文必须在华盛顿接受检查,因为我是“驴子”。我要求解释。“嗯,”他们回答说,“每次罪行都有这样的名字:狗、猫、老虎、骆驼等等。”他们给我看了名单,“驴子”是一位俄罗斯科学家的代号。
俄罗斯数学传统的另一个特点是倾向于将所有数学视为一个活的有机体。在西方,一个人很有可能成为数学模5的专家,而对数学模7一无所知[注47]。就研究的广度来说,涉猎广泛在西方被认为是负面的,反之领域狭窄则在俄罗斯不可接受,程度上两者相当。

法国数学学派辉煌了好几个世纪,直到勒雷(Jean Leray)、亨利·嘉当(Henri Paul Cartan)、塞尔(Jean-Pierre Serre)、托姆和瑟夫(Jean Cerf)等伟大深刻的工作。布尔巴基学派(Bourbakists)声称所有伟大的数学家——用狄利克雷(Peter Gustav Lejeune Dirichlet)的话来讲——是“用清晰的思想代替盲目的计算”。布尔巴基宣言中的这句话,翻译成俄语变成了“用盲目的计算代替清晰的思想”。译审是柯尔莫哥洛夫,他精通法语。我发现这一错误后大吃一惊,就去找柯尔莫哥洛夫讨论。他答道:我不觉得翻译有什么问题,翻译把布尔巴基风格描述得比他们自己说的更准确。遗憾的是,庞加莱(Henri Poincaré)没在法国创建一个学派。

法国科学院最近的一场讨论,是体现法国学术界观念狭隘的一个典型例子。格罗莫夫多年来是外籍院士,但他最近加入了法国国籍因此不再是外籍院士。问题是要把他转成一般的院士。法国数学家们却对此反对,声称“这些位置是给真正的法国人的!”。在我看来,所有是“真正法国人”的候选者的水平远远不及格罗莫夫,他是世界顶尖数学家之一。最后,格罗莫夫还是没当上院士。

在法国教书非常困难,因为学生们接受了布尔巴基公式化的训练。例如,在巴黎第九大学四年级学生的动力系统笔试中,一个问题是找到相平面上哈密顿方程组解的极限,此相平面从某个给定的初始点出发,时间趋于无穷大。解法是把初始点选在一鞍点的分离线(separatrix)上,极限就是鞍点。

准备考试题时,我犯了一个计算错误,相曲线(含初始点的能量级曲线)变成了一个闭合椭圆而不是一条分离线。学生们发现了这一点,并得出结论:存在一个有限的时间T,在该时刻,解返回到初始点。利用唯一性定理,他们可以推导出对于任意正整数n,解在nT时刻的值还是初始点。然后得出的结论是:由于无穷远时刻的极限与任何趋于无穷远时刻的时间子序列的极限重合,因此极限等于初始点!这个解答是由坐在考试大厅不同位置的几个优等生独立给出的。在所有这些推理中,没有逻辑错误。这确实是一个正确的推算,也能用计算机得到相同结果。但显然,解题者根本什么都不懂。可以想象布尔巴基学派对学生施加了多么可怕的压力,把(显然并不笨的)学生变成了推理机器!这种公式化的教育对于任何实际问题都是完全无用的,甚至是危险的,会导致切尔诺贝利式的悲剧。糟糕的是,这种公式化的教育瘟疫正在很多国家蔓延,受其感染的数学前景不容乐观。

美国则面临着另一种危险。没有一个俄罗斯教授能够正确解答美国研究生入学考试(GRE)中的问题。在下面三组中选出与[角度angle,度数degree]最接近的一组:[时间time,小时hour];[面积area,平方英寸square inch]和[牛奶milk,夸脱quart]。每个美国人都会立即给出正确答案。官方的正确答案是[面积,平方英寸],解释是:1度是角度的最小单位,1平方英寸是面积的最小单位,而1小时包含很多分,1夸脱包含2品脱。我一直很奇怪怎么可能会有这么多的美国人克服了如此的困难而成为大数学家的。纽约一位成功解决了这个问题的物理学家告诉我,他有一个准确描述这些出题者愚蠢程度的模型。

惠特尼告诉我,一次针对14岁在校学生的全国范围测试中,一道关于数字80的120%是大于、小于,还是等于80的问题,只有30%的学生得到了正确答案。进行测试的人认为30%的学龄儿童理解百分比。然而,惠特尼向我解释说,就整体样本而言,真正理解的人数可以忽略不计。由于有三种可能的答案,因此正确随机选择的统计预测为33%,还有5%的误差。

最近,就连美国国家科学院也决定应该加强美国的科学教育。他们建议从课程中删除对美国孩子来说太难的、不必要的科学事实,代之以真正基础的、初级的知识,如所有物体都有属性,所有的生命都有天性!(参见Nature 372:5606 December 8, 1994.[注48]) 毫无疑问,他们会在这方面走得很远!两年前,我在《今日美国》(USA Today)上读到,美国父母为不同年龄段的孩子列出了一份真正必要的知识清单。在十岁时,他们必须知道水有两种状态,而在十五岁时,要知道月亮有不同的月相并绕地球旋转。在俄罗斯,我们在小学低年级[注49]里就教孩子们水有三个状态,但在短期来看,新兴的美式文化无疑会取得胜利。不过在自由的美国体系中,有一些显著的优势,比如说,高中生可以选修爵士乐历史的课程,而不是代数。

惠特尼去世前几个月,仍然活跃在普林斯顿高等研究院,并向我讲述了他数学研究的故事。他原是耶鲁大学小提琴专业的本科生,第二年,他被送到欧洲最好的音乐中心之一。遗憾的是,我忘了是哪个城市了,但可以肯定,它离阿尔卑斯山不远,因为他已经是一个登山运动员了。在那里,学生必须通过一门和自己专业不同的科目的考试。惠特尼问他的同学当时最流行的科目是什么,他们告诉他是量子力学。第一节量子力学课后,他这么问那位著名的授课老师(泡利?薛定谔?或是索末菲?),“亲爱的教授先生,好像您讲的课有点不对劲儿,我是耶鲁最好的学生,可您的课我还是一个字也听不懂。”在得知惠特尼是音乐专业后,老师很有礼貌地回答说:“这是因为你需要一些背景知识,比如微积分和线性代数。”惠特尼说:“那好,我希望这些不像你的课那么新,应该有人写过一些教科书吧。”授课老师指点了几本教材给惠特尼。(请知情者告我此事发生的地点,这位教授的名号,以及这几本书的名字,先此致谢!)惠特尼对我说:“三个星期后,我能听懂他的课了,学期末我从音乐专业转到数学。”

柯尔莫哥罗夫一开始也不是学数学的——他研究的是历史。他的第一篇论文写于他17岁时,在莫斯科大学由巴赫罗欣(Bakhrushin)[注50]组织的一次研讨会上发表。柯尔莫哥罗夫根据对诺夫哥罗德(Novgorod)[注51]中世纪税收记录的分析得出了一些结论。讲话结束后,柯尔莫哥罗夫问巴赫罗欣是否同意这些结论。“年轻人,”教授说,“在历史学中,你至少需要五个证据才能得出一个结论。”第二天,柯尔莫哥洛夫就转到了数学系。在他去世后,这篇论文从档案中被找出来重新出版,历史学家认为他的结论是对的。Lui: 能谈一下关于纯粹数学和应用数学的看法吗?

阿诺德:根据路易斯·巴斯德(Louis Pasteur)的说法,不存在应用科学——存在的是科学的应用。纯数学家和理论物理学家对应用数学界的普遍看法是,应用数学家由无力的思考者组成,他们无法得出科学上重要的东西,还有一些人对金钱比对数学更感兴趣。我认为应用数学界完全匹配这种特性,参见我的文章《应用数学的歉意》(Apology of applied mathematics,发表于1996年Russian Mathematical Surveys)。此文总结了我在1995年7月汉堡工业与应用数学国际会议开幕式上的演讲。我认为纯粹数学和应用数学的区别在于社会而非科学。纯数学家因数学上的发现而获得报酬,应用数学家则因解决特定问题而获得报酬。

当哥伦布扬帆起航时,他就像一个应用数学家,寻求一个具体问题的解决方案:找到去印度的路。新大陆的发现可以比作为纯数学家的贡献。我不认为伽利略的发现(他立即以美式的商业化风格利用其成果)不如纯粹哲学家帕斯卡的那些重要。真正的危险不是应用数学家那帮人本身,而是由数学和数学教育的形式化(我认为这就是犯罪)造成的纯粹数学与科学的分离。希尔伯特-布尔巴基(Hilbert-Bourbaki)的公理演绎式数学阐述在本世纪上半叶占主导地位,幸运的是,现在正让位于庞加莱式几何数学的统一趋势,它将深刻的理论洞察力与现实世界的应用相结合。

顺便说一下,我在最近的一本美国书中读到,几何是一种不会在冗长计算中犯错误的艺术。我认为这是对几何学的低估。

我们的大脑有两个半球:一个负责多项式的计算和语言,另一个负责图形在空间中的定位和现实生活中所有重要的事情。当我们同时利用两个半球时,数学就是几何。可以参看“The geometry of formulae” by A. G.Khovanskii in the Soviet Sci. Rev. Sect. C: Math.Phys. Rev. V4 (1984)。

编者注:在本文付印时,阿诺德根据随后的通信和事件,提交了一份采访的新改版。但编辑部收到过晚,不能列入文章中。

 

 

译者注

[1] 彼得罗夫斯基(Ivan Georgievich Petrovsky,1901-1973),苏联数学家,偏微分方程专家。

[2] 柯尔莫哥洛夫(Andrey Nikolayevich Kolmogorov,1903-1987),20世纪最有影响的数学家之一。在现代数学众多分支有重要影响,特别是在调和分析,概率论、集合论,信息论,数论,拓扑学方面做出了重大贡献。[3] 列夫·庞特里亚金(Lev Semyonovich Pontryagin,1908-1988),苏联数学家,在拓扑,代数,动力系统方面有重大贡献。[4] 罗克林(Vladimir Abramovich Rokhlin,1919-1984),苏联数学家,在代数拓扑,几何方面有重大贡献。[5] 盖尔范德(Israil Moiseevic Gelfand,1913-2009),柯尔莫哥洛夫的学生,在群论、表示论、泛函分析等多个领域做出重大贡献,在数学教育方面极有影响。[6] 彼得·诺维科夫(Pyotr Sergeevich Novikov,1901-1975),集合论、数理逻辑、算法理论群论专家。[7] 安德烈·马尔可夫(Andrey Andreevich Markov,1903-1979),俄罗斯著名数学家安德烈·马尔可夫(Andrey Andreyevich Markov,1856–1922)的儿子,主要研究拓扑学、拓扑代数、动力系统、算法理论和构造性数学。他证明了拓扑学中同胚问题的不可判定性,引入了正规算法的概念。[8] 格尔丰德(Aleksandr Osipovich Gelfond,1906-1968),他深刻地发展了超越数论和复变函数的插值理论和逼近理论,并解决了希尔伯特第7问题。[9] 柳斯特尼克(Lasar'Aronovich Lusternik,1899-1981),泛函分析领域专家。[10] 亚历山大·辛钦(Aleksandr Yakovlevich Khinchin,1894-1959),苏联概率论学派主要数学家之一,数论、概率论和统计物理方面都有杰出贡献。[11] 帕维尔·亚历山德罗夫(Pavel Sergeyevich Alexandrov,1896-1982),在集合论和拓扑学方面有杰出贡献,其编写的教材影响深远。[12] 尤里·马宁(Yuri Ivanovich Manin,1937-),非交换代数几何奠基人之一,在微分方程、数论、范畴论和物理学方面有杰出贡献,也是最早提出量子计算理论的数学家之一。[13] 雅科夫·西奈(Yakov Grigorevich Sinai,1935-),俄裔美籍数学家,柯尔莫哥洛夫的学生,主要从事动力系统理论、遍历理论和数学物理研究,2014年获得阿贝尔奖。[14] 谢尔盖·诺维科夫(Sergei Petrovich Novikov,1938-),彼得·诺维科夫的儿子,以代数拓扑和孤子理论方面工作而闻名,广义相对论、量子场论等方面也有建树。1970年菲尔兹奖获得者,2005年获得沃尔夫数学奖。[15] 弗拉基米尔·阿列克谢耶夫(Vladimir Mikhailovich Alekseev,1932-1980),柯尔莫哥洛夫的学生,动力系统理论专家。[16] 阿诺索夫(Dmitrii Viktorovich Anosov,1936-2014),庞特里亚金的学生,动力系统理论研究专家。[17] 亚历山大·基里洛夫(Alexandre Aleksandrovich Kirillov,1936-),盖尔范德的学生,在表示论、拓扑群和李群等领域做出杰出贡献。[18] 《俄罗斯数学调查》是俄罗斯双月刊Uspekhi Matematicheskikh Nauk的英文译本,创刊于1936年。[19] 即俄罗斯科学院斯捷克洛夫数学研究所圣彼得堡分所(St.Petersburg Department of SteklovInstitute of Mathematics of the Russian Academy of Sciences)。[20] 维希克(Anatoly Moiseevich Vershik,1933-),研究表示论、动力系统、遍历理论、几何学等多个领域有贡献。他最著名的工作是无限对称群的表示,并将它应用到最长递增子序列。[21] 格莫洛夫(Mikhail Gromov,1943-),俄裔法籍数学家,在黎曼几何、辛几何、代数拓扑学、集合几何群论和微分方程等领域有杰出贡献。1993年获沃尔夫奖,2009年获阿贝尔奖。[22] 伊利亚什伯格(Yakov Eliashberg,1946-),辛拓扑与切触拓扑的创始人之一,2020年获沃尔夫奖。[23] 维罗(OlegYanovich Viro,1948-),拓扑与代数几何专家,尤其擅长实代数几何,热带几何与扭结理论。他是1983ICM(华沙)与2000ICM(巴塞罗那)受邀报告人。[24] 图拉耶夫(Vladimir Georgievitch Turaev,1954-)量子拓扑主要创始人,利用经典拓扑中的基本技巧在3维流形的不变量理论以及纽结与链环理论中引入新的思想与工具。[25] 哈拉莫夫(Viatcheslav Mikhailovich Kharlamov,1950-)俄裔法籍数学家,代数几何,微分拓扑专家。[26] 博特(Raoul Bott,1923-2005),匈牙利裔美籍数学家,在几何学方面做出杰出贡献,2000年获得沃尔夫奖。[27] 加丁(Lars Gårding,1919-2014),瑞典数学家,对偏微分方程领域做出杰出贡献。[28] 霍万斯基(Askold Georgievich Khovanskii,1947-)研究领域为代数几何,交换代数,奇点理论,微分几何与微分方程,发展了代数几何中的环面簇与牛顿多面体理论。创立了稀疏多项式理论。[29] Fewnomial theory是研究特殊类型多项式的理论,fewnomials也称作稀疏多项式(sparsepoly nomials)或缺项多项式(lacunarypoly nomials),它们的项数是给定的,系数和次数可以变化。[30] 斯蒂芬·斯梅尔(Stephen Smale,1930-),美国数学家,菲尔兹奖(1966)和沃尔夫奖(2007)获得者,在拓扑学、动力系统,数理经济学等方面做出杰出贡献。[31] 勒内·托姆(René Thom,1923-2002),法国数学家,突变理论创始人,1958年菲尔兹奖获得者。[32] 约翰·米尔诺(John Willard Milnor,1931-),美国数学家,在微分拓扑、K-理论和动力系统等方面做出杰出贡献,荣获数学三大奖:菲尔兹奖(1962)、沃尔夫奖(1989)和阿贝尔奖(2011)。[33] 奥莱尼克(Olga Arsen'evna Oleinik,1925-2001),乌克兰数学家,偏微分方程专家。[34] 孔采维奇(Maxim Kontsevich,1964-),法国高等科学研究所(IHÉS)教授,1998年菲尔兹奖获得者。[35] 贡恰罗夫(Alexander Goncharov,1960-),耶鲁大学教授,盖尔范德的学生。[36] 富克斯(D.B.Fuchs,1939-),俄裔美籍数学家,拓扑理论专家,和盖尔范德共同创立了无穷维李代数的上同调理论。[37] 加林娜·秋琳娜(Galina Nikolajewna Tjurina,1938-1970),主要研究代数几何,是活跃在1960年代苏联顶尖数学家中的女数学家。[38] 安德鲁·秋林(Andrei Nikolajewitsch Tjurin,1940-2002),秋琳娜的弟弟,主要从事代数几何研究。[39] 哈斯勒·惠特尼(Hassler Whitney,1907-1989),美国数学家,奇点理论建立者之一,1982年获沃尔夫奖。[40] 德利涅(Pierre Deligne,1944-),比利时数学家,格罗腾迪克的学生,以证明Weil猜想著名,荣获数学三大奖:菲尔兹奖(1978)、沃尔夫奖(2008)和阿贝尔奖(2013)。[41] 涅霍罗舍夫(Nikolai Nikolaevich Nekhoroshev,1946-2008),在哈密顿系统、微扰理论等做出杰出贡献。[42] 瓦尔琴科(Alexander Nikolaevich Varchenko,1949-),在几何学、扑拓学和组合数学、数学物理等领域做出杰出贡献。[43] 扎卡尔尤金(Vladimir Zakalyukin,1951-),在奇点理论和动力系统等领域做出杰出贡献。[44] 瓦西里耶夫(Victor Anatolievich Vassiliev,1956-),在拓扑学、奇点理论、积分几何、计算复杂性理论等做出杰出贡献,提出纽结理论中的Vassiliev不变量。[45] 纪梵塔尔(Alexander Givental,1958-),俄裔美籍数学家,主要研究辛拓扑和奇点理论及其与拓扑弦理论的关系等。[46] 戈柳诺夫(Victor Vladimirovich Goryunov,1956-),在奇点理论、辛流形和切触几何等方面做出杰出贡献。[47] 这里以初等数论中的模p同余为例。比如整数模5,就将所有整数划分成5个类,每个整数可以写成5t+s的形式,其中t是整数,s是{0,1,2,3,4}中的某一个。整数模7是类似的,每个整数可以写成7p+q的形式,其中p是整数,q是{0,1,2,3,4,5,6}中的某一个。[48] Macilwain,C. Academy report backs 'science for all' plan. Nature372, 489(1994).https://doi.org/10.1038/372489a0[49] 原文Primary school在美国一般指小学三四年级以前。[50] 巴赫罗欣(Sergei Vladimirovich Bakhrushin,1882-1950),俄国著名历史学家。[51] 诺夫哥罗德(Novgorod)的历史重要性很高,中世纪时期是个大公国,后并入莫斯科大公国。历史学家Boris Kiselev评价说:“彼得大帝开了一扇朝向欧洲的窗户,而中世纪的诺夫哥罗德早已将大门敞开。”

 

受访者简介

弗拉基米尔·伊戈列维奇·阿诺尔德(俄语:Влади́мир И́горевич Арно́льд,1937年6月12日-2010年6月3日),俄国数学家。20世纪最伟大的数学家之一,动力系统和古典力学等方面的大师。1957年他19岁时就解决了希尔伯特第十三问题,此后对多个数学领域都有重大贡献,包括动力系统理论、突变论、拓扑学、代数几何、经典力学、奇点理论。他最著名的成果是关于可积哈密顿系统稳定性的KAM定理,即柯尔莫哥洛夫-阿诺德-莫泽定理。

 

采访者S. H. lui

现为加拿大曼尼托巴大学(University of Manitoba)数学系主任、教授,研究方向为数值分析,应用偏微分方程。

 

本文原文发表于Hong Kong Mathematics Society Newsletter, 1996.2,原标题为An Interview with Vladimir Arnol'd,后经Notices of the AMS转载。本文经采访者授权发表于《返朴》。

 

 

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