撰文 | 丁玖（广州南方学院数学与统计学院教授） 

欧洲近代史中，在匈牙利这个约有一千万人口的小国，于19世纪末四分之一至下一世纪初四分之一的五十年间，诞生了一大批20世纪的杰出人士。他们当中有空气动力学家冯·卡门 (Theodore von Kármán，1881-1963）、数学家波利亚（George Pólya，1887-1985）、物理学家西拉德（Leo Szilard，1898-1964）、化学家德·赫维西（George de Hevesy，1885-1966）及经济学家哈萨尼（John Charles Harsanyi，1920-2000）。这些智者常常被称为“火星人（The Martians）”，该术语首创于西拉德的一句玩笑，说的是20世纪上半叶从欧洲移民到美国的那些卓越的匈牙利犹太裔科学家。（编者注：可参见《这个不起眼的小国，走出了科学史上最杰出的一群人》）

匈牙利物理学家兼科学史家马克思 (György Marx，1927-2002)，在其专写匈牙利科学家的书《火星人的声音》（The Voice of the Martians）中，直接将“火星人”放进了标题。他写道：

“宇宙浩瀚无垠，包含着无数的恒星……很可能还有行星围绕着它们运转。……最简单的生物会不断繁衍，通过自然选择进化，变得更加复杂，最终出现活跃且具有思维能力的生物。……他们渴望新的世界……他们应该遍布整个银河系。这些才华横溢的人很难忽视像我们地球这样美丽的地方。——‘那么，’费米提出了他那个令人难以抗拒的问题：‘如果这一切一直在发生，他们现在应该已经到达这里了，那么他们在哪里？’——利奥·西拉德，一个有着顽皮幽默感的人，对费米悖论给出了完美的解答：‘他们在我们中间，’他说，‘但他们自称匈牙利人。’”

2025年5月16日，“火星人”中最晚出生者之一、当代伟大的数学家彼得· 拉克斯（Péter Lax，1926-2025）走完了他长达九十九年的辉煌一生。他同样漫长的学术人生，以匈牙利数学神童起步，十五周岁逃脱纳粹铁蹄，跨越大西洋抵达美利坚；读大学时，他将青春和才华献给了二战中的原子弹研制工程，十八周岁发表了第一篇学术论文，战后辉煌于柯朗（Richard Courant，1888-1972）逃离德国后在纽约大学创立的数学科学研究所，成长为美国数学界的领袖人物。

近十年前我读过一本书《数学家彼得·拉克斯》（Peter Lax, Mathematician: An Illustrated Memoir），这是一本图文并茂的插图回忆录。书的封面印上了一张拉克斯的彩色照片，他站在大黑板前的讲台边，头颅微微上扬，左手翻开一本书，显露出数学家的独特气质。写书人赫什（Reuben Hersh，1927-2020）仅比拉克斯小一岁半，却是后者的博士生。虽然他们的年龄相差无几，但这位学生已经是老师的第十一个博士！拉克斯的首位博士生于1953年出炉时，导师还只有二十七周岁。

《数学家彼得·拉克斯》

赫什于1946年，也就是说在他还没有跨入十九周岁门槛的时候，就已经拿到哈佛大学的英国文学学士学位，这给他创造了条件：一生中除了研究数学外还研究数学文化。他最著名的数学人文作品当数1981年与戴维斯（Philip J. Davis，1923-2018）合著的《数学经验》（The Mathematical Experience），该书获得了美国国家科学图书奖。两年前我读过它，读得不想上床就寝。

在早期高等教育方面，与赫什的经历颇为相像的是早他两代的苏格兰裔美国数学家和数学史家贝尔（Eric Temple Bell，1883-1960）。贝尔的学士和硕士文凭都隶属于文学，但博士论文却立足在数学。他深厚的写作功力给世人留下了《数学大师》（Men of Mathematics）这部著作，影响了像杨振宁、纳什（John Nash Jr.，1928-2015）、怀尔斯（Andrew Wiles，1953-）等一众当代数理精英。赫什的著作《数学家彼得·拉克斯》也将书中主角描绘得栩栩如生。在他笔下，拉克斯一次次地展示了应用数学的理论丰富性，“为纯粹数学和应用数学这两个密不可分、不甚相容的孪生学科之间通常可见的相互不尊重提供了一个独特的例外”。

现在，我们就从拉克斯的祖国出发，沿着他走过的数学之路，琢磨他留下的深深脚印，探寻他将理论与应用相结合的波澜壮阔的实践史。

在数学史上，匈牙利最传奇的数学家是非欧几何创始人之一波耶（JánosBolyai，1802-1860），他被匈牙利人视为民族英雄。这位19世纪的孤独数学英雄引出了20世纪匈牙利数学天空的群星灿烂。

匈牙利数学的蓬勃发展，一方面由于数学家阿拉尼（Dániel Arany，1863-1945）在1894年创立的《中学数学杂志》（Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok），其中的“问题征解”，激励了许多数学爱好者；也得益于“厄特沃什竞赛”，它以物理学家厄特沃什（Loránd Eötvös，1848-1919）的名字命名。一百年前这个竞赛的优胜者中涌现出了一大批卓越的数学家，堪称“匈牙利奇迹”。他们当中有黎斯兄弟——弗里杰斯（Frigyes Riesz，1880-1956）和马塞尔（Marcel Riesz，1886-1969）、合作者波利亚和赛格（Gábor Szegő，1895-1985）、布达佩斯大学首位犹太人数学教授费耶尔（Lipót Fejér，1880-1959）。对他们深有影响的匈牙利数学家柯尼希（Gyula Kőnig，1849-1913），是德国数学家克罗内克（Leopold Kronecker，1823-1891）的弟子。柯尼希的儿子戴尼斯（Dénes Kőnig，1884-1944）写出世界上第一本图论著作。

上世纪最著名的“火星人”可能是冯·诺伊曼（John von Neumann，1903-1957），比他早一年进了同所精英中学的另一个“火星人”、1963年诺贝尔物理奖得主维格纳（Eugene Wigner，1902-1995）颇为自卑地谈论他的同胞：“不管多么聪明的人，和冯·诺伊曼一起长大就一定会有挫败感。”1967年诺贝尔物理奖得主贝特（Hans Bethe，1906-2005）则感叹：“有冯·诺伊曼这样的大脑是不是意味着存在比人类更高一级的生物物种？”这或许是“火星人”的一个等价说法。

冯·诺伊曼于1903年降生于布达佩斯一个富有的银行家之府。时间过了近二十三年，又一个“火星人”降落到同城一家也很富有的医生之家。这个男孩名叫彼得·拉克斯，有个哥哥叫约翰（John Lax，1925-2023），后者长大后成了一名有文学素养的物理学家。他们的父亲亨里克 (Henrik Lax，1895-1990) 与母亲克拉拉·科恩菲尔德 (Klara Kornfield，1895-1973）都是内科医生，年轻时相识于医学院，父亲成为名医，治过病的名人中有剧作家莫尔纳尔(FerencMolnár，1878-1952）和演员嘉宝（Greta Garbo，1905-1990）；前者早拉克斯一年多移民美国，1941年为他们全家赴美提供了经济担保。

约翰和彼得的少年堪称幸福，父母恩爱、生活富足，家有保姆和厨师。好日子持续到二战爆发，很快，匈牙利境内反犹口号震天响。父母当机立断，决定全家逃往大洋彼岸。1941年11月25日，拉克斯医生夫妇拿到了赴美签证，当日带着两个儿子上了火车奔赴葡萄牙里斯本，待到12月5日全家乘船前往纽约，这是之后四年中离开欧洲的最后一艘美国客船。

少年拉克斯对数学表现出兴趣是在他十二岁那年。除了与生俱来的聪慧大脑外，以工程师为职业而以数学家为内涵的舅舅对他很有影响。舅舅科恩菲尔德（Albert Kornfield，1898-1995）是厄特沃什竞赛的数学赛折桂者，他和数学赛亚军但为物理赛冠军的西拉德成了终生朋友。当西拉德和爱因斯坦设计出一种新式冰箱时，科恩菲尔德进行了工程设计。

彼得进了明塔中学后（这所名校的校友有冯·卡门），对数学的浓厚兴趣爆发。发现次子数学早慧的父母请来了女性数学博士罗莎·彼得（Rózsa Péter，1905-1977）担任他的私人教师。她把拉克斯引入了终生献身数学的大道。有趣的是，老师的姓和学生的名拼写完全一样，似乎意味着师徒二人早就有了“数学情缘”！

彼得博士可不是普通数学人物，她之后成为数理逻辑的一名强者，被誉为“递归函数之母”，晚年被选为首位匈牙利科学院女院士。她写了两本有影响的书，一本是《递归函数》（Recursive Functions；初版为德语），为本领域的世界首部著作；另一本是普及读本《玩转无限：数学探索之旅》（Playing with Infinity: Mathematical Explorations and Excursions；初版为匈牙利语，有中译本），涉及数论和逻辑，已被翻译成十几种语言。彼得博士影响了少年彼得。对于这位引路人，拉克斯回忆道：

“罗莎·彼得真棒。她沉浸于数学，感兴趣于人们怎样思考。那时我十二三岁，她做的第一件事是让我读汉斯·拉德马赫和奥托·特普利茨合写的《数学欣赏》。”

这本脍炙人口的经典作品振奋了许多青少年，培养出他们对数学推理的热爱，也加速了拉克斯的成长。彼得老师不满足于仅灌输知识，而是常会激励小彼得“你能自己证明吗？下周来时试一下吧。”老师还带他去听数学演讲，他成了最年少的参会者。

1940年，彼得博士让年仅十四岁的拉克斯非官方地参加了厄特沃什竞赛，因为他不是高中生，还不够资格注册参加。正式参赛者们坐在封闭的房间里进攻三道竞赛题。拉克斯拿到题目后完美解答。第二年他再次非正式参赛，同样做对了所有三道题，成了数学竞赛的“无冕之王”。那年深秋他们全家人逃离祖国前往美国，一个数学小神童将在新大陆茁壮成长。

拉克斯离开匈牙利前，彼得博士和柯尼希教授给在美国的冯·诺伊曼和赛格各自写了信，请他们关注这位十五岁少年的非凡潜力。赛格太太是拉克斯母亲的第一代表亲，赛格自然会关照这个数学早熟的小亲戚。柯尼希给冯·诺伊曼的信写于1941年11月12日：

“我与年轻的彼得在数学领域接触已有一年多。通过与他的私人交谈以及他所做的计算工作（包括解决基础数学问题），我确信这位年轻人拥有非凡的数学天赋。例如，连续两年，他在数学和物理学会的竞赛中，都以远超正式参赛学生的水平完成了任务。如果能够进一步培养和支持这位杰出的人才，这不仅符合彼得的利益，也符合整个社会的利益。因此，我恳请您，如果彼得·拉克斯向您提出问题或寻求建议，请您以对待未来科学家应有的善意回应他。” 

抵达美国后，拉克斯全家定居纽约，彼得进了史岱文森高中读书，但从未修过数学课，因为这些课对他而言太初等。然而，他要花大量时间学英文。还在读高中时，长他十三岁的祖国同胞埃尔德什（Paul Erdős，1913-1996）邀请他访问了普林斯顿高等研究院，特地向爱因斯坦介绍他是一位前途无量的匈牙利年轻数学家。爱因斯坦问：“为什么是匈牙利人？”果然，拉克斯一生中发表的首篇数学文章，解决了埃尔德什的一个猜想，证实埃尔德什之前的断言不假。

因为受到祖国数学家朋友的重托，冯·诺伊曼对拉克斯很关心，建议他读完高中后去找自己在哥伦比亚大学的合作者默里（Francis Murray，1911-1995）。而赛格建议他去投奔柯朗，因为柯朗不仅善于同年轻人一起工作，而且建立了一个哥廷根大学数学研究所式的研究机构。拉克斯认为“这是最好不过的建议”。

于是，拉克斯先在纽约大学读了三个学期。他成了明星学生，比如，在一门复分析课程结束前，他就成了该课的“讲师”。身材高大、长相英俊的他也在课堂里遇见了他未来的太太安妮莉·卡恩（Anneli Cahn，1922-1999），不过长他四岁的她那时还是别人的太太。

在完成学业前，拉克斯被征召入伍美国陆军。不久他被送到得克萨斯农工大学继续深造，随后又被派往橡树岭国家实验室，继而进了洛斯阿拉莫斯的原子弹曼哈顿计划。在那里他从计算器操作员干起，但最终转向于数学研究。1944年，他发表了首篇学术论文《对埃尔德什关于多项式导数的一个猜想的证明》（Proof of a conjecture of P. Erdős on the derivative of a polynomial）。根据谷歌学术网页上的记录，该文迄今为止已被引用了五百多次。

二战结束后，拉克斯在洛斯阿拉莫斯又待了一年，同时在新墨西哥大学修课，然后又去斯坦福大学塞格和波利亚处学习了一个学期。1946-1947学年，他回到纽约大学，当年毕业。拉克斯留在了纽约大学攻读研究生学位，导师为德裔数学家弗里德里希斯（Kurt Friedrichs，1901-1982），于1949年获博士学位，博士论文是《两个独立变量的非线性双曲偏微分方程组》（Nonlinear System of Hyperbolic Partial Differential Equations in Two Independent Variables）。

拉克斯和安妮莉于1948年结婚，他们恩爱一生，共同生活到金婚之年，直至太太去世。爱情的结晶是两个儿子；约翰尼（Johnny Lax，1950-1982）与吉米（Jimmi Lax，1954-），前者成了历史学家，70年代中期任教于美国第一家女子学院——曼荷莲学院，但不幸在三十二岁那年驾车去胡佛总统图书馆途经芝加哥时，被一醉汉司机撞死。同年拉克斯夫妇在曼荷莲学院建立了约翰尼·拉克斯纪念讲座。

安妮莉去世后，拉克斯迎娶了柯朗的小女儿、乐团首席中提琴家洛里（Lori Courant，1928-2015），后者于1954年所嫁的伯科维茨（Jorome Berkowitz，1928-1998）在拉克斯之后出身同一师门，也留在同一研究所任教。柯朗的大女儿、生物学博士格特鲁德（Gertrude Courant，1922-2014）则嫁给了莫泽（Jürgen Moser，1928-1999），他也曾在柯朗数学科学研究所任教，当过三年的所长，并于1995年荣获了沃尔夫数学奖。如果联想到柯朗本人娶了哥廷根大学应用数学教授龙格（Carl Runge，1856-1927）之女为妻，这个两代数学家之间的“翁婿关系”传统被他的女儿们发扬光大了。洛里的音乐细胞结合彼得的数学细胞，无疑给老年的拉克斯夫妇带来了生命的新乐章！

二十三周岁上被人称为“博士”的拉克斯，没有忘记事业起步的宝地洛斯阿拉莫斯国家实验室，于1950年再度返回那里工作了一年。第二年，他回到纽约大学柯朗数学科学研究所担任助理教授，从此他再也没有离开这个研究所。1958年，他升为正教授，从1972年到1980年，他担任所长。

拉克斯的科学人生成长史是天才基因、名师指点加上个人奋斗的嫁接果实。少年时代巧遇彼得博士而被精心栽培成可造之材，青年时代被一代巨匠弗里德里希斯带进了偏微分方程的广阔天地，在之后大约一个甲子的科学活动中，他的累累成果，震撼了数学世界，获得了几大国际奖励。在进入下一节专门介绍拉克斯的主要学术贡献前，我们先来列举一下他被授予的主要奖项，由此可见他在数学界的名望和地位。

基于研究：1975年，诺伯特·维纳奖；1983年，国家科学院应用数学和数值分析奖；1986年，国家科学奖；1987年，沃尔夫数学奖；1992年，斯蒂尔奖；2005年，阿贝尔奖；2013年，罗蒙诺索夫金质奖章。

基于写作：1966年和1973年，莱斯特·R·福特奖；1974年，肖维内奖。

冠名讲座：1969年，冯·诺伊曼讲座；1972年，赫尔曼·韦伊讲座；1973，赫德里克讲座；2007年，乔赛亚·威拉德·吉布斯讲座。

此外他是下述科学院的院士或外籍院士：美国国家科学院；美国艺术和科学院；法国科学院；苏联科学院；匈牙利科学院；中国科学院。他是全世界十一所大学的名誉博士，包括北京大学（1993）。 

因为我是计算数学专业出身，我将首先介绍拉克斯对数值分析领域最著名的贡献——“拉克斯等价原理”，这是关于求解偏微分方程数值解三个概念——相容性、稳定性和收敛性之间关系的一条基本原理。它出自拉克斯与美国物理学家和数学家里希特迈尔（Robert Richtmyer，1910-2003）于1956年在《纯粹与应用数学通讯》上发表的论文《线性有限差分方程稳定性综述》（Survey of the stability of linear finite difference equations）。

解微分方程的差分方法基本思想是用差商取代导数，将给定的微分方程转化成代数方程组，其未知元是原先连续方程的解在离散网格点上的函数值。相容性意味着差分方程“逼近”微分方程，稳定性指的是当网格尺寸越来越小时，对应差分格式的解不会“崩溃”，收敛性则表示当网格尺寸趋向于零时，差分方程的解“收敛”到微分方程的精确解。

这三个概念之间的关系如何？之前有数值工作者认为，不稳定数值格式的崩溃是由于舍入误差的放大。在洛斯阿拉莫斯国家实验室，拉克斯听了一个报告，演讲者也肯定了上一句断言，并说如果有一台有无穷精度的计算机，那么甚至不稳定的格式也会收敛！

在这个流行的观点下，有人说，为了确认格式的有效性，必须同时证明稳定性和收敛性。然而，拉克斯等价原理指出：求解线性偏微分方程，一个相容的数值逼近格式是收敛的当且仅当它是稳定的。这个定理的价值在于它否定了不稳定格式的收敛性，纠正了之前的错误认识。然而，如此重要的结论，其严格数学证明只有大概一页纸长，仅基于泛函分析中的“一致有界原理”，是抽象分析学结果的一个直接应用。这正显示了拉克斯的强项：将纯粹数学的思想用于解决实际问题。拉克斯在三十岁时展现给世人的这项工作，也隐含了一个关键性的理念：要想在计算数学做出有影响力的工作，纯粹数学的根基很起作用。这一点纯数学功力深厚的计算数学家冯康（1920-1993）早就对他钟爱的学生提醒过。

上面讲的是拉克斯在偏微分方程的计算方面做出的贡献，它具有基本的重要性，因而最广为人知。他对于偏微分方程领域影响力巨大的一项纯理论性研究在1957年问世：《振荡初值问题的渐近解》（Asymptotic solutions of oscillatory initial value problems），登于《杜克数学杂志》。我们引用拉克斯对此项工作的三句话来领略一下这篇文章的重要性：“它是对正在发生的事情的微局部描述。它结合了从宏观和微观两个角度来看待问题，这赋予了它强大的力量。微局部观点的数值实现是通过小波及其类似的方法，这些方法在数值上非常强大。”

文章中的“微局部”思想，后来被1962年菲尔兹奖得主霍尔曼德尔（Lars Hörmander，1931-2012）等人推广，构成了一门新学问“傅里叶积分算子微积分”。拉克斯的博士导师弗里德里希斯以及在柯朗数学科学研究所的同学兼同事尼伦伯格（Louis Nirenberg，1925-2020）也位列其中，他们发展出了“伪微分算子”这一通过傅里叶变换的微分算子推广物。该术语也称为“微局部分析”。

在二十年前出版（八年后重印）的《拉克斯论文选集》，由著名的纯粹数学家萨纳克（Peter Sarnak，1953-）和应用数学家马伊达（Andrew Majda，1949-2021）联合编辑。选集包括九个部分：偏微分方程；偏微分方程的差分逼近；双曲守恒律系统；可积系统；欧几里得空间内的散射理论；自守函数的散射理论；泛函分析；分析；代数。它们分属纯粹数学和应用数学，必须要请这两个领域的各自名家来编辑成书。该书从拉克斯自1944年到2003年发表的一百五十八篇研究论文中，选择了五十八篇。

在维基百科关于拉克斯的条目中，列出了以他名字命名的数学术语，除了前述的等价原理外，还有拉克斯-米尔格拉姆定理、拉克斯-弗里德里希斯方法、拉克斯-温德罗夫方法、拉克斯-温德罗夫定理、伯林-拉克斯定理和拉克斯对。1954年证明的拉克斯-米尔格拉姆定理属于泛函分析，为希尔伯特空间上的某些泛函提供了弱形式，对偏微分方程的理论和计算特别有用。拉克斯-弗里德里希斯方法和拉克斯-温德罗夫方法都是用于双曲型偏微分方程的差分方法；而拉克斯-温德罗夫定理说，如果双曲守恒律系统的保守数值格式收敛，那么它就会收敛到弱解。伯林-拉克斯定理分别由伯林（Arne Beurling，1905-1986）于1948年和拉克斯于1959年发现，它刻画了哈代空间的平移不变子空间。拉克斯对是可积系统中的一对与时间相关的矩阵或算子，它们满足相应的微分方程（称为拉克斯方程），是他在研究孤立子时引进的。

拉克斯在其深耕的散射理论和激波领域（两者均横跨纯粹数学和应用数学）留下了专著，其中对散射理论他写了两本书，都是和泛函分析名家菲利普斯（Ralph Phillips，1913-1998）合著的，分别为1967年出版、1989年修订再版的《散射理论》（Scattering Theory）和1976年出版的《自守函数的散射理论》（Scattering Theory for Automorphic Functions）。数学史上德国人克莱因（Felix Klein，1849-1925）同法国人庞加莱（Henri Poincaré，1854-1912）暗地里竞赛研究自守函数，前者最终因身体透支而败下阵来，可见这是挑战过人类高智商人物的一个学科（编者注：可参见《19世纪末的数学高峰：庞加莱的自守函数研究》）。拉克斯和菲利普斯能将具体欧氏空间的散射理论推广到更加抽象的散射理论，实属非凡的创造。

《自守函数的散射理论》和《双曲守恒定律系统和激波的数学理论》

我大学同学魏木生的博士论文与散射理论有关。魏木生1963年考进江苏省常州高级中学试点班，学习成绩稳居年级前三，尤其在数理化上一直是独占鳌头。高二时华罗庚教授视察该校，听说到这个“数学小才子”，便出了几道题小试了他，随后称赞道“是一棵数学苗子”。然而魏木生没有拉克斯幸运，1966年开始的“文化大革命”让这位六六届高中毕业生在失学十一年后，才通过恢复高考考进了南京大学数学系的计算数学专业，成为七七级一员。（他和我的其他同学高考前后的成长历程以及大学课堂内外的生动故事被我写进了《南大数学七七级》，此书2025年由新加坡世界科学出版集团旗下的八方文化创作室出版。）

魏木生

魏木生以江苏省唯一的初等数学正题和高等数学附加题双满分，成为当届高考江苏省统考数学单科第一名。本科四年，他的数学成绩继续保持班级领先，毕业时被公费派往布朗大学应用数学系攻读博士学位。他的博士论文指导老师有两位，其中一个是乔治 (George Majda，1952-2004)，其哥哥就是上面提到过的拉克斯论文选集的编辑之一、美国国家科学院院士马伊达；第二位导师是斯特劳斯（Walters Strauss，1937-）。这两位教授分别从事偏微分方程数值解和理论的研究，魏木生的博士论文论题是带紧致位势的波动方程的散射频率的数值计算。散射理论在这之前的70年代，由于拉克斯等人的开创性工作，已经成为非常热门同时又是难度极大的数学问题。

魏木生的导师和拉克斯教授交流了魏木生的研究想法，拉克斯对散射波的数值渐近解提出了一个问题。经过一年半的仔细推敲、分析和计算，魏木生采用自己提出的几个关键思路，成功地计算出若干主要的散射频率，计算结果与理论频率高度吻合，并圆满解答了拉克斯关于数值渐近解的问题，解惑了最初的疑问。1986年春，魏木生完成博士论文答辩，得到了拉克斯的高度评价。次年，当魏木生在明尼苏达大学数学及应用研究所做博士后时，他见到了来访的拉克斯教授，后者祝贺他做出了一项很好的工作，并给他写了一封热情洋溢的推荐信。或许这封极具分量的信对他回国工作起到关键作用：1988年，魏木生在密歇根州立大学完成博士后研究后如期归国，落脚的华东师范大学数学系马上聘他为副教授。

魏木生在拉克斯散射理论的指引下写出了一篇有开创性意义的博士论文，他计算散射频率的方法被他人成功地用于天体物理中黑洞问题的研究。由于在计算过程中用到亏秩矩阵，在著名数值代数学家戈勒布（Gene Golub，1932-2007）的鼓励下，他开启了亏秩矩阵最小二乘问题摄动理论的研究。广义来看，这是拉克斯巨大学术影响力所带来的结果。

拉克斯于1973年由美国工业与应用数学学会出版了一部包含激波理论的专著《双曲守恒定律系统和激波的数学理论》（Hyperbolic Systems of Conservation Laws and the Mathematical Theory of Shock Waves）。之后的几十年间，激波计算成为科学计算领域中的一个重要组成部分。 

拉克斯不局限于只当数学科学家，终其一生他还是一位积极的数学教育家，写了多部风格独特、极受欢迎的教科书，范围广博，从微积分、线性代数到泛函分析都有。他的书也教得很好，和他的前辈冯·卡门一样广受称赞。在他获得的众多奖项中，便包括1995年纽约大学授予他的杰出教学奖。此外，他为美国数学协会的旗舰杂志《美国数学月刊》写了多篇阐述性文章，其中的一篇笔者曾经读过，将在本节后面简单介绍。

拉克斯写教科书的一个动因是对同类教材的不甚满意，于是决定亲自出马。照理说，像他这样的创造型大学者，对写教材这类事，尤其是像微积分这样的“初等教科书”，不必劳驾自己下山操刀了，况且研究家们大都在忙于研究，很难挤出时间写作大学生读物。这里仅以拉克斯出版的《线性代数》（Linear Algebra）研究生教材为例，试图梳理他对教科书写作的理念。此书假定读者已经修过线性代数的初级课程，包含了若干线性代数一般教科书内难得见到的材料，并有许多物理应用。

几十年来，有两类线性代数的教材，一种可视为“有限维空间的泛函分析”，这种充满集合论语言的写作风格，以匈牙利裔美国数学家哈尔莫斯（Paul Halmos，1916-2006）的经典名著《有限维向量空间》（Finite Dimensional Vector Spaces）为代表。另一种则以矩阵为工具，以计算为特色，展现了许多与求解线性方程组相关的技术和定理。前者可能对训练未来的分析数学家有益，应用学科的学生可能更钟情后者。

认识到线性代数在高速计算机时代“线性数值分析”中越发重要的作用，拉克斯在他的《线性代数》中放进了不少对当代科技发展十分有用但在其他教材中鲜为人知的“分析结果”，并插入了许多物理应用诠释这些理论。他在该书的导言中坦诚指出，“线性代数美妙之处，对分析学家和物理学家如此有用，却经常在教科书中被忽略”。他的目的是减少理论与应用之间的失衡，用纯粹数学之手，写出应用数学之书。

一篇刊登在2001年11月期《美国数学月刊》上的书评这样写道：“我认为这本书值得在每个数学家的书架上都占有一席之地。它的证明直接、新颖、优雅，其呈现方式也启发人们重新思考那些有时过于千篇一律的内容。”

分析数学家克兰茨（Steven G. Krantz，1951-）对拉克斯于2002年出版的研究生教科书《泛函分析》（Functional Analysis）的书评是：“本书的学习者将获得真正的教育——不仅在基础泛函分析方面，更在实际的泛函分析实践方面。本书之所以具有真正的力量和权威，是因为它是由一位在过去六十年中推动这些思想发展的大师所著。”

因其出色的阐述性写作，拉克斯于1974年荣获美国数学协会的肖维内奖，这是它每年颁发的最高写作奖。他发表于《美国数学月刊》的文章被这个全世界读者人数最多的数学杂志授予莱斯特·R·福特奖两次。第一次是在1966年，获奖的文章是《偏微分方程的数值解》（Numerical solutions of partial differential equations），第二次是在七年后，获奖文章为《激波的形成和衰减》（The formation and decay of shock waves）。

下面介绍他为《美国数学月刊》撰写的另一篇文章，由此可见拉克斯教授即便在早已功成名就的花甲之年，依然不忘为全世界热爱数学的读者们端上一盘美味的科普佳肴。

垂足三角形是平面几何中的一个术语。任给一个三角形，从它的每个顶点作其对边的垂线，由此得到的三个垂足决定了一个新的三角形，称为原先三角形的“垂足三角形”。从一个初始三角形出发，依次作出对应的垂足三角形，形成一个无穷序列。最终的形状可能会是怎样的？

郭永怀、钱伟长和林家翘于上世纪40年代初留学多伦多大学时的硕士导师辛格 (John Synge, 1897-1995)，在他活到九十二岁时的1989年，与人合作在《美国数学月刊》上发表了文章，专门研究垂足三角形迭代的周期点问题。当拉克斯读到文章后，很快写出了一篇新文章《垂足三角形序列的遍历性》（The ergodic character of sequences of pedal triangles），第二年刊登在同一期刊第九十七卷第五期上。

遍历理论是纯粹数学的一门综合学科，凝聚着许多分支的内涵，如测度论、群论、抽象代数和拓扑等。天赐良机，拉克斯得以借助一个具体模型普及这门重要学科——对应于构造垂足三角形的平面上标准直角三角形区域的自映射，它是区间上的帐篷函数的二维推广。通过对它的迭代分析，拉克斯用大学生能理解的微积分语言证实，垂足三角形的迭代过程是“遍历”的，即相应的那个二维帐篷映射的迭代点进入定义域内任一子区域的频率就等于这个子区域的面积除以定义域的面积。读者们从拉克斯的文章，理解了遍历理论的基本概念。

拉克斯与他的前辈同胞科学巨人冯·诺伊曼在许多方面很相像。他们都是公认的数学奇才，在数学的多个领域留下深刻的印记，都脚踏纯粹数学与应用数学的“连环大船”，乘风破浪，所向披靡。上世纪前半叶，冯·诺伊曼先以纯粹数学的三大成就——平均遍历定理、量子力学的数学基础和算子环论驰名天下；一旦他置身于原子弹研制等战时研究，他立刻华丽转身为杰出的应用数学家，并且与费米（Enrico Fermi，1901-1954）和乌拉姆（Stanisław Ulam，1909-1984）等人开创了“非线性分析”这一覆盖面广泛的应用领域；当他最早就线性方程组数值计算而提出条件数概念，以及对微分方程离散计算方法稳定性的分析时，他的身份则又添上了“领头计算数学家”的标签。可以说，他是上世纪的一代全能数学家，在他的眼里和在他的实践中，所谓的“纯粹”“应用”和“计算”三大限定性形容词统统都是数学界人士给自己套上的精神枷锁甚至职业桎梏。

拉克斯对冯·诺伊曼佩服得五体投地，多次在写作或演讲中提及他的天才和洞见。某次当他谈论冯·诺伊曼的科学通信时，这样写道：“要衡量冯·诺伊曼的成就，不妨想象一下，如果他能活到正常的年龄，他肯定会获得诺贝尔经济学奖。如果诺贝尔奖设立计算机科学和数学奖，他也会获得这些奖项。因为他在物理学，尤其是量子力学方面的贡献，这些信件的作者应该被认为是三项诺贝尔奖得主，或者可能是三个半诺贝尔奖得主。”

至于拉克斯，他是数学界“冯·诺伊曼二世”，是继承冯·诺伊曼衣钵的新一代“火星人”。他的逝世，意味着参加过洛斯阿拉莫斯核弹研制的那批科学家中的最年轻的一位，走进了历史。他的数学伟绩和精彩人生将被人铭记，数学家们在追求数学真理、应用数学知识的大道上继续跟随他的脚步勇往直前。

写于2025年8月9日星期六