著名数学家、中国运筹学的开拓者和带头人越民义，根据自己学习数学过程中的失败经历，总结出怎样学数学的经验。他谦虚地认为，这些失败的经验对于后之来者虽不能导引“方向”，却并非没有指出“迷津”之用。

撰文 | 越民义

华罗庚在听学生越民义讲他做的研究工作

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数学是一门使人着迷的学科

喜欢介绍自己学习经验的，大多是一些自以为有所成就而又不愿意淹没不闻的人。我既然愿意写这篇短文，也就难把自己排除在这些人之外。但我确是个碌碌终日、无所建树的人。假若说有一些“经验”，主要也是在失败这方面。失败的经验对于后之来者虽不能导引“方向”，却并非没有指出“迷津”之用。

数学是一门使人着迷的学科，但它却不像文学那样容易使人接近。一个作者在创作一篇（部）文艺作品时，心里往往不知不觉地怀想着广大的读者，希望从他们那里得到共鸣，唤起他们的某种钦佩或同情。而多数数学工作者在创造某一成果时，心里怀想的主要是他的一 (小) 部分水平比他更高的同行，希望以一种优胜者的姿态引起那些人的钦佩或赞赏 (为了升级或别的目的而撰写“论文”的人不在此列) 。不重视同行的评价，而只希望得到社会多数群众的同情和钦佩的，这样的数学家，我想，不能说没有，但为数不会很多。因此，数学上的定理，从它们出现的过程来说，就难说具有主动地去赢得广大群众欣赏的愿望，人们就谈不上会自然地去接近它们。

一个青年人开始喜欢数学，往往是由于他自觉或不自觉地经过一段或长或短的时期的努力之后，使他感到比其周围的人胜过一筹，使他感到，对于这种被普遍看作是难于对付的学科，他却有某种程度的过人之处，多少怀着一种优胜者的心情向前迈进。这时，他会对于解决数学难题感到乐趣，数学才把他“迷住”。他越是被迷住，学习就会变得刻苦深入，成绩自然也就会显著提高，兴趣也就越来越大。所以，对于数学的爱好（或兴趣）是后天养成的，是经过刻苦的努力产生的，不是先天的。

有的人，在幼年时代对于数学计算或对某些简单几何图象的识别或想象，比他周围同年龄的人高一些，后来他又以数学为职业。这种情况往往使他感到具有一种天生的数学才能，甚至生来就是要搞数学这门行业的。我们认为天生的某些才干只是有助于他容易对数学感兴趣，他对数学的爱好是后天的。除个别人之外，一般人的才干差不了多少。我在高中上学时，从二年级开始分文理班，由于要求学理科的人多，到理科班需要通过考试。我数学学得很差，勉强通过。但在月考时，我只考了五十几分，不及格，挨了老师一顿臭骂。我同寝室中有一位和我邻铺位的同学，人家都叫他郑老总，却考了七十几分，受到表扬（那时考上七十几分多不容易) 。我心里不服，认为我比他聪明，至少人家没有叫我老总，认为他只不过偶然碰上罢了。当时有好几位同学来向郑老总请教，他回答得头头是道。我不禁暗中钦佩，便问他是怎么会的。他告诉我，每天当我们吃完中饭去睡觉时，他却到教室里做习题。他的话给了我很大的启发。从那天谈话后，我每天吃完中饭，便不再睡午觉，赶到教室里做习题。不久我也取得了良好的成绩，开始了我的数学生涯。

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学习数学要循序渐进

我不是一个循规蹈矩做学问的人，稍有所得，便好高骛远，希望一步登天。我总是力图学一些比课堂上更深更难的东西。比如说，当老师在教复数和二次方程时，我却拼命地去做方程式论（范氏大代数）一章的习题。由于是自学，对课文是一知半解，等到老师教授方程式论一章时，由于大部分内容我已熟悉，便无心听课，自己不清楚的地方也无心仔细钻研，成天感兴趣的则是微积分和微分方程，其结果，所学的大部分是“夹生饭”，到时都得回锅，事倍功半。虽然我从朋友们的工作中逐渐认识到循序渐进是很好的学习方式，但毕竟已浪费了不少时间。而且，那种好高骛远，见异思迁的习惯已难根除。

所谓循序渐进，就是说，当第一步尚未学得很透彻，甚至还是似懂非懂的时候，不要进入第二步。数学这门学科，逻辑性很强，后面的部分往往要用到前面部分的知识，或处理问题的方法。有时虽然没有直接用到定理或方法，但却需要某种训练，缺少这些知识、方法和训练，越往下走，便会感到越来越糊涂。写出来的东西，似是而非，以直观代替严格的数学推理，谬误百出。在学习上，由于遇到的东西越来越复杂，便会感到乱成一片，不知道文章里的问题是如何解决的，甚至连讲些什么也不清楚。这样就会越来越感到学不下去，从而丧失了兴趣。假若养成一种循序渐进的习惯，便会将学习的东西整理得一清二楚。一个复杂的证明，哪些部分是作者独创的，哪些是“高着”，估计自己是作不出来的。从这当中便发现了自己与作者之间的差距。“舜人也，我亦人也”，一定要向那些有才干的作者看齐。不足之处，赶快补起来，努力追上去。一般来说，在同一篇文章中，“高着”一般说来是不多的。对于这种“高着”必须下功夫学习，体会，还要想办法把它派个用场。关于这一点下面还要讲到。

当你养成一种分析问题、琢磨文章的习惯之后，日积月累；你便会感到复杂的东西也是由少数几个大的部分组成的。这些部分出现的原因和它们之间的相互关系也是可以理解的。与此同时，由于读的东西多了，运算的技巧也高了，你会发现，一些复杂的推演过程大部分是由某些必然的步骤所组成，就比较容易抓住新的关键性的部分。而当你自己要创作、写文章的时候，便能看到大的布局，容易知道困难的所在。这就好比下棋，一个好的棋手，每下一子棋，他都必须全力以赴，不轻易落子，把每种可能出现的情况，尽自己的力量考虑得清清楚楚。习之既久，他便发现，每欲下一子，所须考虑的只是少数几种情况，其余的可以置之不理，把考虑的范围归结到少数几种可能性，分析问题便会深入。好的棋手可以看到十步、二十步，甚至更多，功夫便在于此。反之，有的人不注意培养自己，随手下子，靠的是直观，深入不进去，一子下去，便成大错，盘数下了不少，却是一手屎棋。

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学习的目的就是要去解决问题

对于学习来说，循序渐进很有必要，可以避免夹生饭。但是，光是循序渐进是不够的。一本书或一篇文章，它总是按着某种逻辑次序来写。按其所包含的内容，依照相互牵连的关系，把内容安排成某种次序，使前面所讲的东西不会用到后面所讲的，这叫做顺理成章，不然就乱了套。不可能设想，一本中学教本把二次方程放在一次方程的前面来讲。因为在解二次方程时要用到一次方程方面的知识。一本像样的书总是按照循序渐进的精神来写的。

我们读一本书，目的是要学得一些有用的知识。也就是说，这些知识将来可能在某种场合用到。需用时，我们既知道有这些东西存在，不必临时现学。这里讲的知识，可以是某一定理或结论，可以是某些处理问题的技巧，也可以是它们的某种复体。要使我们的工作能顺利进行，而不是到处碰壁，就要求我们能够熟练地掌握这些知识。在使用时，有的是信手拈来，有的须要加以改造，有的则须要进行某种创造。而要做到这一点，教师和学生都要对自己有较高的要求。

拳教师在教人练拳时，一般总是先把拳术一套套教给学生。学生在学过这些套数之后，在真正遇到对手时，若他按照老师所教的顺序一一施展出来，那便成了一出滑稽戏。他要不挨打，就得随机应变，灵活使用自己学过的东西。他应该懂得在什么情况下应用哪一手，在什么情况之下把不相关联的几手放在一起来使用，有时需要改变，有时需要创造，等等，这叫做拆得开、聚得拢。教师好坏的差别，首先是他教的每个动作是否正确，但更重要的差别是：好的教师着重于学生如何使用已经学到的知识。他与学生对打，看出他的破绽，让他吃个亏，然后再指点他，教他如何克服他的缺点。水浒传第二回里所说的王进教史进的方法便是一个很好的例子。史进早先的教师打虎将李忠看来是一位不甚高明的教师。史进虽然经了七、八个“有名的师父”的教导，使出来的棍棒“只是有破绽，赢不得真好汉”，“好是好，上不了阵”。在与王进较量时，才经过一个回合，给王进“只一激，那后生 (史进) 的棒丢在一边，扑地望后倒了。”

当然，这并不是说，那七、八个“有名的师父”都是混饭吃。史进从他们那里的确也学了不少东西，所以“前后得半年之上，史进把十八般武艺，从新学得十分精熟，多得王进尽心指教，点拨得件件都有奥妙。”那七、八个师父所缺的就是没法点拨出这种奥妙。但江湖上能人甚多，各有各的专长，各有各的花招。如何对付这些花招，再好的师父也不可能给学生一一指出。这就需要自己在实践中去学习，去体会，精益求精。数学的内容比之拳术要复杂得多。对于如何运用所学的知识，一般是通过做习题来达到（在这里，我要说一句，我是不赞成出题解书的）。但习题一般与其所在的章节的内容有关，因此，在训练人的能力和应用已得到的知识方面有它的局限性。应该培养学生有一种见着偏题、怪题、难题就试一试，不搞它个水落石出不肯罢休的习惯。要求学生使出通身解数，把“吃奶的力气”也拿出来。一道题，若自己做不出来，而别人做出来了，说明自己是个“陋蛋”，须要加倍学习，努力赶上去；若自己做出来了，别人尚未做出，说明自己还有一些可取之处，起到鼓舞士气的作用。通过做一些不入正规的习题，可以培养学生灵活使用学得知识的能力。

我们应鼓励老师与学生一起作题。老师有时难免输给学生，这是正常的。“三人行，必有我师”，何况一个班有好几十个学生，其中自然会有一些有才华的。老师掌握的知识可能超过学生，但不能说，他的聪明才智也超过班上所有的学生。这是合乎逻辑的推理。因此，输给他们决不是什么丢脸的事。老师从失败中可以从学生那里学到某些思考问题的方法，某些自己不知道的东西。有了这些，在教下一班时，便增加了一分能力，逐渐赢得学生的信任，这就叫教学相长。

我们现在来谈一谈学习的目的问题。我们说学习是一种手段，不是目的。我们总是为着某种目的而学。漫无边际的学习，只不过是浪费时间和精力罢了。学习的目的就是要利用所得到的知识和能力去解决问题。在这里，我们要特别强调“能力”这个词。它是在学习的过程中，无形地逐渐培养起来的，常听到一些人说：“我在工作中就没有用到课堂上学来的东西。”这种提法并不全面，课堂上的知识，对于有的人来说，可能是没有直接用上，但通过学习培养出来的能力却在那里发生作用。这种能力包括思考问题的方式，思维逻辑，以及由于具有较广泛的知识而获得的分析和吸收新鲜事物的能力，等等。即使对于这些人，我相信，只要他肯钻研，而不是应付眼前的工作算事，他所学过的东西必能派上用场。

学习的目的就是要去解决问题。去解决什么样的问题呢？就数学来说，问题大致有三个来源。一类问题是由数学内部产生的，也就是所谓纯数学方面的问题。比如说，任何一个充分大的偶数是否必能表示成两个素数之和？这一问题是由数学的结构产生的。第二类问题是为了解决实际问题而产生的具有普遍性的数学问题。运筹学以及力学中绝大部分问题皆属此类。比如运输的组织问题。这类问题可以化为某种特定形式的数学问题。随之而来的就是研究如何求解，以及研究在各种情况下解的性质，等等。这里所研究的不是某一个具体的运输问题，而是研究某种具有共性、代表性的运输问题。然后将研究出来的结果运用到各种具有类似结构的实际问题中去。我们称这种以研究自然现象和社会现象为背景的数学问题为主的学科为应用数学。第三类问题是对于某一具体的实际问题如何利用数学方法来求解。同样是运输问题，但具体情况各有不同。比如说，有的货物容易破碎，有的货物易燃，有些货物，例如化学药品与食物，不能放在一起运输。在将应用数学中的方法用于具体问题时，还须根据情况作某些修改。我们称这类工作为数学的应用。不管是哪类问题，都要求我们灵活运用所学的知识，要求我们在旧的基础上创造新的。在这里，我想对年轻的读者说几句话。事物的发展总是后来居上，后来的人总是要超过前人。这是历史发展的必然规律。否则人类就不可能从穴居野处进步到现在的生活情况。但究竟由谁来超过前人，那又是另一回事了。通过努力学习、刻苦钻研虽然并不一定就胜过前人，但不这样做，必然不可能胜过前人。胜利只是属于那些不畏艰险、不辞辛劳的人，而在这里，毅力是极为重要的，我不只一次有这样的经验，当我研究一个问题时，经过一番“努力”之后，感到走投无路，便决然放弃。但没有多久，别人做了出来。把别人的做法拿来一看，完全是自己力所能及的。我的失败就在于缺乏毅力。能不能把一些错综复杂、千头万绪相互纠结在一起的事物整理得有条不紊，一清二楚，弄清它们之间相互的关系，推出必要的结论，这需要毅力；在遇到困难，感到束手无策的时候，能不能再从各种不同的渠道来考虑，去仔细阅读和分析有关的资料，从中吸取有用的东西，把它们用到自己的问题上面来，这需要毅力；在要开辟一个新的课题或领域时，要阅读大最文献，学习一些自己前所未遇的东西，任重道远，能不能贯彻始终，这需要毅力。总之，毅力是一种完成事业的必备因素。孔子说，“刚毅木讷近仁”，把毅力提到近乎仁（儒家的最高品德）的高度。国外也把它 (fortitnde) 列入四种基本品德之一，这不是没有道理的。

学习的目的就是用。要运用已学到的东西去创出精神的或物质的财富。那种只问耕耘、不问收获的思想不能被认为是一种好的思想，对人民负责的思想。“用”是针对某种目标而言。有了目标，对于学习的内容就有所选择，不会漫无边际。用时，也知道应学到什么程度为止，也可衡量出对于已学过的东西是否真正了解，融会贯通，也知道哪些知识对自己的目的来说是需要掌握的。这时，你也会感到，有些知识虽然已经很熟悉，甚至可以背诵如流，但并没有真正掌握，因为不会使用，这时重新学习，体会便和以前大有不同。

在这里就出现了一个如何寻找“目标”的问题。对于从事实际工作的同志来说，目标往往来自当时所从事的实际课题。例如一个设计人员，在设计某一工程时，假若他希望有所创造，就应该去了解当前国际上该方面的最新方法和最新成就，然后根据我国的具体条件，经过认真分析，提出应兴应革的意见。对于一个搞理论工作的同志来说，事情就比较复杂一些。理论课题的要求不像实际问题那么具体，自由度大一些。如何选择一个适当的课题，即使对于有经验的人来说，也不是那么容易的。在这方面，虽然不乏自学成才之士，但若能得到良师益友之助，则可少走一些弯路。

一个理论课题的选择，至少必须考虑两个方面：其一，该课题应具有一定的理论价值；其二，应是自己的能力所能胜任的。初学的人容易走极端，或者把问题选得很难，大大超过自己的能力，结果是到处碰壁、一筹莫展，白白浪费了许多时间。比如有不少人把Goldbach问题或Fermat问题作为研究课题，而他们对于有关这些课题的研究工作发展的情况，以及前人未能成功的原因，也就是问题困难的所在，毫无所知，贸然从事，也就不可能指望成功。另外又有一些人则把只能作为简单习题的东西选作研究课题。文韋写出来不能发表，既使发表了，也难登大雅之堂。要选题得当，必须熟悉与该课题有关的文献，知道什么叫做“前进了一步”，就可确立自己努力的目标。

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要重视基础知识和训练

最后，我想谈一谈“基础”问题。这里所说的基础，是指从事一门学问所必须具备的知识和训练。缺乏必要的知识便不知道别人在讲些什么，不理解问题和结论的含义。缺乏必要的训练，则会感到处处是困难，寸步难行。因此，一定的基础是必要的。但基础只是相对于某种科目而言。研究代数的人，对数学分析的要求便不同于研究微分方程的人。而一个人常常会依据客观的需要或学科的发展而改变自己的观点和选题，这时，原有的基础便不能适应新的需要，要从新学习。即使老是在同一学科里工作，但随着学科的发展和自己工作范围的扩大，也需要学习新的基础性的东西。因此，基础是一个无底洞。虽然一定的基础是必要的，但不能等到把一切都准备好了再开始工作，只能在工作中通过边干边学，扩大和加深自己的基础知识。

对于培养基本训练来谈，重要的是多作些不同类型的题，做到脑子活、思路宽。一个优秀的作家总是具有宽广多变的思路。莎士比亚便是一个很好的例子，他的三十七部剧本在题材和处理手法方面，各有其特色。《水浒传》里的那些主要人物也各有其独特的面貌。但一个拙劣的作者在处理题材时，则往往千篇一律，大同小异，使人一见便知出自谁手。这样的人来搞数学，在最好的情况下，也不过是个程咬金，就是那么三板斧。遇到问题，凑巧他那一手可以驾驭，算碰上一回；若对不上号，便无所施其计。程咬金的缺点，不是他无能，因为他也有三板斧，而在于他因循守旧，满足现状，不愿学习新事物，也不想学习别人的长处。

在上面，我拉杂写了一些自己在学习数学的过程中的一些体会。谈了这些，并不意味着我已经学好了；相反，我却具备了上面提到的各种缺点，将自己的缺点与别人的优点相比，感受颇多，所写的实际上是一些感受。另一方面，对于学习，各人有各人的体会，这当中自然带有不少偏见和局限性，请读者见谅。

作者简介：

越民义，著名数学家、中国运筹学的开拓者和带头人，在排队论、非线性最优化和组合优化方面取得了多项国际领先水平的重要研究成果。曾担任中国科学院数学与系统科学研究院应用数学所副所长，中国运筹学会理事长。1921年6月生于贵州省贵阳市，1945年毕业于浙江大学数学系。此后先后在贵阳高中、浙江大学和贵州大学任教。他初受教于陈建功教授和苏步青教授，研究函数论；后成为华罗庚教授的助手，从事数论研究。1951年调到中国科学院数学研究所从事数学研究。先后任助研、副研和正研。1958年遵照国家需求，转入新的学科领域——运筹学。他在运筹学方面的研究成果斐然，是我国著名的运筹学专家。他因在运筹学领域取得多项突出成果，曾先后获得全国科学大会奖(1978)、两次中国科学院自然科学奖一等奖(1981、1987)、国家自然科学奖三等奖(1987)，以及首届中国运筹学会科学技术奖(2008)等,为我国运筹学和数学规划的发展和人才培养做出了杰出贡献。

他主要从事数论、排队论、排序理论、数学规划等方面的研究工作。在数论方面，解决了美国格罗斯·沃尔德提出的新问题，对三维除数问题作了较显著的改进。在排队论方面，首次给出了多台排队系统M/M/s的瞬时性态的解析表达式，并研究了此系统的平稳分布的存在性质。在排序理论方面，对Flow-Shop排序问题得出了差别先后顺序的最优条件，并设计出寻求最优顺序的效率高的新算法。在数学规划方面，解决了非线性最优化问题Wolfe既约梯度算法的不收敛问题，设计出解非凸规划的具有全局收敛性的新的既约梯度自满。曾在富氏分析、数论、排队论、组合数学、数学规划等学科领域发表论文20余篇以及其他著作若干。曾担任《运筹学》杂志主编、《应用数学学报》副主编、《中国大百科全书》数学卷运筹学分册主编。

本文原载于《数学家谈怎样学数学》（黑龙江教育出版社，1986年09月第1版）。“数学大院”编辑整理。