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平凡性（数学）

在数学中，“平凡”(trivial)这个词用来形容那些"显而易见"、"不需要特别思考"或"结构极其简单"的情况。

“平凡”这个词源自中世纪教育中的“三艺”(trivium)课程，它包括语法、修辞和逻辑，被认为比包含算术、几何、天文学和音乐的“四艺”(quadrivium)简单得多。

“平凡”的反义词是“非平凡”(nontrivial)，通常用来表示某个例子或解决方案并不简单，或者某个陈述或定理不容易证明。

平凡性在数学中并没有严格的定义。它具有主观性，通常由考虑该情况的人的知识和经验决定。

平凡与非平凡的例子

在数学中，“平凡”一词常用来指结构非常简单的对象（如群、拓扑空间）。

1. 平凡的数学结构

• 空集：不包含任何元素的集合
• 平凡群：只包含一个元素（恒等元）的群
• 平凡环：只有一个元素的环

2. 平凡解与非平凡解

“平凡”也可以用来描述那些结构非常简单的方程解，但为了完整性也不能忽略这些解。这些解被称为平凡解。假设我们有一个微分方程：（ 的导数等于  本身）

• 平凡解：（零函数）
• 非平凡解：（指数函数）

平凡解通常是显而易见的，比如"x = 0"这样的答案。而非平凡解则需要更多的思考和计算。

微分方程 ，附带边界条件 ，在数学和物理学中非常重要，因为它可以用来描述量子力学中的盒中粒子，或弦上的驻波。它总是包含解 ，这被认为是显而易见的，因此被称为“平凡”解。在某些情况下，可能存在其他解（正弦波），这些解被称为“非平凡”解。

3. 费马大定理的例子

费马大定理说的是方程 （当  时）没有非平凡的整数解。

什么是平凡解？比如  就是一种解，但这种解太明显了，没有研究价值，所以被称为"平凡解"。

在数学推理中

平凡也可以指证明中任何容易处理的情况，但为了证明的完整性，这些情况都不能忽略。

例如，数学归纳法证明有两部分：

1. 基础情况：证明定理对特定初始值（如  或 ）成立
2. 归纳步骤：证明如果定理对某个  值成立，那么它对  也成立。

基础情况通常是平凡的，并被标识为平凡，尽管也有基础情况困难但归纳步骤平凡的情况。

另一个平凡证明的例子涉及空集。假设你想证明"某个集合中的所有元素都具有某种性质"：

• 当集合非空时，你需要仔细检查每个元素
• 当集合为空时，证明变得“平凡”，因为空集中没有元素，所以这个陈述是“空真”(vacuous truth)

对某种情况是否平凡的判断取决于考虑它的人，因为对于具有足够知识或经验的人来说，这种情况可能显而易见，而对于从未见过这种情况的人来说，可能难以理解，因此完全不平凡。关于一个问题应该多快、多容易被识别才能被视为平凡，可能存在争论。

平凡性也取决于上下文。在泛函分析的证明中，给定一个数，很可能会平凡地假设存在更大的数。然而，在基础数论中证明关于自然数的基本结果时，证明可能取决于这样的论述：任何自然数都有后继数——这个陈述本身应该被证明或被视为公理，因此不是平凡的。

平凡证明

在一些文献中，平凡证明指的是涉及蕴含式 P→Q 的陈述，其中结论 Q 始终为真。在这里，证明直接源于实质蕴含的定义，即当结论固定为真时，无论前提 P 的真值如何，蕴含式都为真。

一个相关概念是空真，其中实质蕴含 P→Q 中的前提 P 为假。在这种情况下，无论结论 Q 的真值如何，根据实质蕴含的定义，蕴含式始终为真。

幽默

数学界的一个常见笑话是说“平凡”与“已证明”是同义词——也就是说，任何定理一旦被证明为真，就可以被视为“平凡”。

【遇见数学】：这种幽默反映了数学研究中一个有趣的现象。当你完全理解了某个概念后，它往往会变得"显而易见"，以至于忘记了自己曾经为理解它而花费的精力。

两个数学家在讨论一个定理：第一个数学家说这个定理是“平凡的”。应另一位的要求解释，他随后进行了二十分钟的讲解。解释结束时，第二个数学家同意这个定理是平凡的。但是，如果证明一个定理需要大量时间和精力，我们能说这个定理是平凡的吗？

当一个数学家说一个定理是平凡的，但他在宣称它平凡的那一刻无法自己证明它，这个定理是平凡的吗？

通常，作为一个玩笑，人们会将一个问题称为“看起来就是显然的”(intuitively obvious)。例如，有微积分经验的人会认为以下陈述是平凡的：

然而，对于不了解积分微积分的人来说，这并不明显，所以它不是平凡的。

例子

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在数论中，找到整数 N 的因子常常很重要。任何数 N 都有四个明显的因子：±1 和 ±N。这些被称为“平凡因子”。任何其他因子（如果存在）都被称为"非平凡因子"。

齐次矩阵方程 ，其中  是固定矩阵， 是未知向量， 是零向量，有一个明显的解 。这被称为"平凡解"。任何其他解，即  的解，都被称为"非平凡解"。

在群论中，有一个只有一个元素的非常简单的群；这通常被称为"平凡群"。所有其他更复杂的群都被称为"非平凡群"。

在图论中，平凡图是只有 1 个顶点且没有边的图。

数据库理论有一个称为函数依赖的概念，写作 。如果 Y 是 X 的子集，则依赖  为真，所以这种类型的依赖被称为"平凡"。所有其他不那么明显的依赖被称为“非平凡”。

可以证明黎曼 ζ 函数在负偶数-2、-4、...处有零点。虽然证明相对容易，但这个结果通常不会被称为平凡；然而，在这种情况下是平凡的，因为它的其他零点通常未知且具有重要应用，并涉及开放性问题（如黎曼假设）。因此，负偶数被称为该函数的平凡零点，而任何其他零点则被视为非平凡零点。

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