你一定经历过洗澡时水温过热或过冷时的情况，结果调节过量又导致水太烫或太凉了。其实有一个数学方程可以描述这种现象，我们也可以形象地称它为“淋浴方程”，而其中的关键就是延迟——因为水从水管流出需要时间。方程求得的结果是真正能调出最佳温度，还是就只能凑合洗洗？生活中，涉及到延迟的现象太多了，那么淋浴方程又能用在何处？

 

温馨提示：本文包含一些数学推导，可选择直接跳过。

 

撰文 | Chris Budd

 

翻译 | 许钊箐

 

淋浴的时候，我们都经历过这种情况：如果感觉水温有些凉就调热一点儿，不过，因为热水经管道流出需要时间，水温不会立刻改变，所以你会把水温调得更高一些。这时再出水后洒到身上，你又会感觉有点烫了。于是你立刻把热水调小，可结果水温又偏低了，然后你又开始加热水……如此反复形成一种循环，我们似乎不可能调整到最合适的水温。

 

其实这种现象可以用一个方程来描述，而且这个方程可不是只能用来分析洗澡水温度——从气候变化到新冠疫情的扩散，它有着广泛的应用。其原因就在于，世界上许多变化的过程都受到延迟的影响。在具体分析之前，我们先来看看这个方程的形式。

 

描述淋浴的微分方程

（1）这类方程也被称为微分方程，因为方程里涉及一个变化率的量，即导数。尽管这个方程很不容易求解，但我们至少可以探索解的大致形态——当然，要涉及一点微积分的知识。如果大家觉得有些烧脑，不妨跳至文章最后，可以看看淋浴方程的重要应用。

 

零延迟下的解

 

 

非零延迟下的解

 

 

淋浴方程的应用：气候变化与COVID-19

 

 

 

现在我们来看看淋浴方程的其他应用，其最重要的应用之一是气候动力学，因为很多的气候现象都需要一段时间才能产生影响。

 

比如，如果我们排入大气中的二氧化碳总量发生变化，那么我们必须等待一段时间才能看到它对地球温度的实际影响。这就造成降低二氧化碳排放所产生的效果难以确定，而且还可能导致温度不可控的振荡。

 

另一个例子是关于厄尔尼诺-南方涛动（ENSO）：厄尔尼诺现象是热带太平洋地区温度的一种不规则变化，洋流和大气之间相互作用引起海洋温度升高，每次升温事件之间大约间隔4年。这一现象对太平洋地区，乃至是全世界的经济发展都有重大影响。如果我们可以更好地预测它，那么这将有助于太平洋地区的人们做好准备。

厄尔尼诺现象

 

这种现象可以被一个与淋浴方程非常相似的方程建模。模型中的延迟就是洋流从南美西海岸流动至亚洲东海岸再返回的时间，也就是我们看到的周期性。事实上，构建厄尔尼诺现象的方程包含了额外的非线性项，从而导致了混沌现象叠加在周期振动之上。（进一步了解可以参考文献：An, S., & Jin, F. (2004). Nonlinearity and Asymmetry of ENSO, Journal of Climate, 17(12), 2399-2412. ）

 

在理解农业生产与气候变化之间关系方面，淋浴方程也有帮助，因为作物生长需要时间。这就导致在环境不断变化之时，人们常常很难计划何时种植与收获。

 

淋浴方程和我们当下严峻的新冠疫情紧密相关。我们正在通过控制社交距离和接种疫苗来试图控制全球的疫情，但是这些举措需要时间才能看到效果。显然，模型中涉及了延迟。除此之外，病毒的潜伏期也有一段时间。在潜伏期内，病人没有任何症状，所以就存在一个人被感染至被发现患病之间的延迟。在建模时，引入这些延迟就会导出了具有延迟和控制影响的SIR方程（一种常用的传播模型），从而帮助我们理解和控制疫情。当然，这也可以从淋浴方程变形而来。和 ENSO 系统一样，一旦延迟被纳入到方程中，事件就会变得更加不确定。因此，(卫生和经济) 系统的可控制性如何还有待观察。

 

作者简介

 

 

Chris Budd是巴斯大学应用数学教授，数学与应用研究所副所长，英国皇家学会数学主席，英国科学协会（BSA）荣誉会员。Buddd的主要研究方向是非线性微分方程，他对将数学应用于现实世界特别感兴趣，长期与英国气象局合作进行数值天气预报和数据同化研究。此外，他也致力于数学科普，促进公众理解、参与科学，策划多个公众科学项目和科学课程。他与C. Sangwin合著了数学科普作品Mathematics Galore!（《丰富的数学》） ，并参与撰写了50 Visions of Mathematics（《数学的50个愿景》）一书。（参见https://researchportal.bath.ac.uk/en/persons/chris-budd）

 

本文基于 Budd’s Gresham College 系列讲座中的一个演讲。

 

原文链接：The shower equation: Dealing with delay

 

https://plus.maths.org/content/shower-equation