2020年10月6日，瑞典皇家科学院宣布英国数学家彭罗斯（R. Penrose）“由于发现黑洞的形成是广义相对论的一个有力预测”获诺贝尔物理学奖。彭罗斯还和父亲一起设计了“彭罗斯三角”和“彭罗斯阶梯”等。他提出的“彭罗斯铺砌”极大启发了以色列化学家、2011年诺贝尔化学奖得主谢赫特曼（D. Shechtman）对“准晶体”的研究。

物理上的广义相对论、几何学中的彭罗斯铺砌、化学中的准晶体，甚至艺术领域中毕加索开创的立体主义，这些看似毫不相干的理论，却有一个共同的缔结点，那就是都与高维几何相关。从19世纪下半叶开始，高维几何不仅吸引着科学家们的持续思考，也受到艺术家、文学家、哲学家甚至神秘主义者的不断关注。1884年出版的科幻小说《平面国》（Flatland）以新颖的视角向世人展示了二维世界的奇妙生活，特别是二维世界里的人物穿越到三维世界的奇幻旅程，由此人们发出疑问：“可四维的国度在哪里？”

美国艺术家托尼·罗宾（Tony Robbin）长期以来一直对四维几何的发展历程以及其在科学与艺术上的应用感兴趣，他经常与数学家们进行交流，探讨数学与艺术的共通之处。2006年，罗宾集30多年来的创作与研究心得，出版了Shadows of Reality: The fourth dimension of relativity, cubism and modern thought^[1]。他从一名艺术家的视角出发，采用多种不同的方式大胆地探索了第四维度。全书从四维几何的起源开始，探讨了四维几何对艺术和科学的影响，最后以四维几何在计算机上的视觉呈现作为结尾，为读者展开了一幅四维几何与艺术、物理、化学、计算机等相互交融、共同发展的巨幅画卷。

在《时空投影》中，罗宾首先将读者的思绪拉回到历史中。从19世纪下半叶开始，四维几何开始在数学界得以诞生（第1章），作家们也对“四维空间”产生了无尽的遐想（第2章），艺术家则展现了绘画与四维几何的惊世碰撞（第3章）。20世纪最伟大的物理学家爱因斯坦和最重要的艺术家毕加索，革命性地改变了物理学和绘画领域中时间和空间的概念。美国科学史和科学哲学教授阿瑟·米勒（Arthur Miller）在《爱因斯坦·毕加索》（Einstein, Picasso）中甚至断言“现代科学就是爱因斯坦，现代艺术就是毕加索”，并大胆推断两人均受到了四维空间理论的影响^[2]。美国艺术史家亨德森（L. Henderson）的研究也认为，20 世纪艺术家们的灵感更多地是受高维几何的激发^[3]。

罗宾重点剖析了毕加索的三幅画作及其创作过程——包含立体主义元素的《亚威农少女》（Les Demoisellesd’Avignon）、受“来自四维几何的新灵感”激发创作的《伏拉德像》（Portrait d’Ambroise Vollard）、充分实现了立体主义的《亨利·卡恩韦勒像》（Portrait of Henry Kahnweiler）。他明确地提出毕加索在发明立体主义时，不仅研究了数学家茹弗雷（E.Jouffret）的文本《四维几何学中的各种论题》(Traité élémentaire de géométrie à quatre dimensions)，还在绘画中融合了其中的射影几何思想。罗宾甚至还称，毕加索是“通过将注意力集中在超立方体上，他发现立体主义中的立方体”（[4], p63），故罗宾认为立体主义（Cubism）或许应称为“超立体主义”（Hypercubism）。

罗宾对四维几何和毕加索立体主义的回顾，是对艺术史与数学史的一个修正。全书拥有明显的修正主义特点，这点在第4章“现实”中体现得最为淋漓尽致。狭义相对论公认是由爱因斯坦、洛伦兹（H. A. Lorentz）与庞加莱（H. Poincaré）共同创立的，但罗宾却认为闵科夫斯基在构建狭义相对论时已经对四维射影几何成竹在胸，并超越了爱因斯坦、洛伦兹与庞加莱。实际上，射影几何在狭义相对论中并没有占据核心的位置^[5]。不过尽管“修正”风格明显，但罗宾注重史料支撑与观点引证，反而令读者视野大开。

二

在研究四维空间中的几何对象时，数学家提出了两种研究方法：一种是用平面或同心球面去切割对象，即所谓的切片模型（slicing model）。17世纪微积分的创立及其在科学中的应用，已经展示了切片模型的强大力量。另一种则是将对象投影到三维空间，即所谓的射影模型（projection model），其基础是在19世纪数学中占据主导地位的射影几何。罗宾旗帜鲜明地抛出了他的观点：射影模型要优于切片模型。但这个观点可能有些夸大^[6]。

罗宾指出：“投影模型是一种与切片模型同时发展起来的同样清晰、强大的结构直觉。与流行的论述相反，正是投影模型在20世纪初形成了革命性的理念。（[4], p4）”这里提到的革命性理念，正是前面提到的爱因斯坦的狭义相对论与毕加索的立体主义等对时间和空间概念的革新。到了20世纪80年代，荷兰数学家德布罗金（N. G. de Bruijn）将投影法应用于超立方体格生成了彭罗斯铺砌，再一次展示了投影法的威力。

不仅如此，罗宾还认为投影法是制作铺砌的三种方法中“最普遍、信息最丰富、最可靠的方法”（[4], p116），而且“有一大类模式只能通过投影才能完美地完成”（[4], p116），可见投影法在铺砌中的重要性（第6章）。20世纪80年代，以色列化学家谢赫特曼在某些铝锰合金中发现了一种新的金属相，它和彭罗斯铺砌一样，没有平移不变性，却有五次旋转不变性。这一发现推翻了晶体学已建立的概念，给晶体界以巨大的冲击，开辟了准晶体的全新领域，并因此荣获2011年诺贝尔化学奖。罗宾认为“准晶是高维空间中规则、周期、立方晶格的投影” （[4], p117），他于1994年在丹麦理工大学做了一个大型的准晶体雕塑，它是三维空间的非周期填充，来自六维欧几里得空间的投影。但可惜的是，该雕塑已在2004年被拆除。

彭罗斯是罗宾这部作品中的主角之一，这位数学家出身的诺贝尔物理学奖得主不仅发现了“彭罗斯铺砌”，还发明了扭量理论与自旋网络（第7章），这是一种解决广义相对论和量子力学的数学工具。为了考察射影模型在其中的作用，罗宾曾亲自向彭罗斯请教。不仅如此，罗宾还展现了高维射影几何在量子力学中的部分应用（第8章），以及范畴论与高维代数中所蕴含的射影思想（第9章）。难能可贵的是，艺术家出身的罗宾竟然同时是四维几何计算机可视化的先驱，他亲自学习编写计算机程序并以此来实现他的想法。罗宾在书中再现了四维图形在计算机上可视化的历程以及他本人在这方面的创造性工作（第10章）。

最后，作者在第11章中指出射影几何在当前数学和物理思维发展中所起的强大作用被忽视了，并再次强调了射影模型的优越性

三

综上所述，我们发现该书有以下特点。首先，作者是高维空间计算机建模领域的专家，在四维空间的计算绘图方面有诸多原创性贡献，书中的若干彩图便是明证。作者对四维几何的历史也有着独到的见解，提出的很多观点都令人耳目一新。例如毕加索是利用投影模型发明了立体主义，四维射影几何在闵可夫斯基在构建狭义相对论时起核心作用等。

其次，本书引用的资料极为丰富，参考文献有近150篇，很多是科学方面的文献。特别是该书还用一章的篇幅集中讲述了射影几何（第5章），内容涉及综合射影几何学、解析射影几何学、射影平面的拓扑学等内容，专业性极强，为同类著作所罕见。

最后，本书的各章都有一个独立的主题，每章均可独立成篇，读者可根据自己的兴趣与专业有选择地阅读。如对艺术感兴趣的读者可直接阅读第3章，了解毕加索的立体主义与四维几何的关系；对彭罗斯铺砌及其应用感兴趣的读者可直接阅读第6章；对四维几何在计算机上的实现感兴趣的读者，则可直接阅读第10章等。

可喜的是，罗宾的这本著作如今已经由潘可慧、潘涛翻译为中文——《时空投影：第四维在科学和现代艺术中的表达》（编注：节选参见《射影几何模型的应用：彭罗斯扭量理论》），于2020年10月由新星出版社出版。阅读此书，你会惊叹四维世界的奇妙，感受到四维几何乃至高维几何对物理、化学以及艺术领域的影响力。由于这本书横跨了多门学科，又涉及到科学与艺术领域的大量专业内容，因此翻译起来颇具难度。幸运的是，两位译者对数学与艺术均有深入的研究和理解，中译本在整体上做到了明白晓畅，并增加了若干注释。这给广大中文读者提供了一个难得的了解罗宾原始著作的机会，相信对数学和艺术感兴趣的读者阅读完一定会有所收获。

参考文献

[1] Robbin T.. Shadows of Reality: The fourth dimension in relativity, cubism and modern thought[M]. New Haven: Yale University Press, 2006.

[2] Miller A.. 爱因斯坦·毕加索——空间、时间和动人心魄之美[M]. 方在庆等译. 上海: 上海科技出版社, 2016. 5.

[3] Henderson L D.. The Fourth Dimension and Non-Euclidean Geometry in Modern Art[M]. Cambridge: Massachusetts Institute of Technology Press, 2013.

[4] 托尼·罗宾. 时空投影[M]. 潘可慧, 潘涛译. 北京: 新星出版社, 2020.

[5] Phillips T.. Book Review: Shadows of Reality: The Fourth Dimension in Relativity, Cubism and Modern Thought[J]. Notices of the American Mathmatical Society, 2007, 54(4): 504—510.

[6] Banchoff T.. Book Review: Shadows of Reality: The Fourth Dimension in Relativity, Cubism and Modern Thought[J]. The Mathematical Intelligencer, 2008, 30(1): 74—75.