阿贝尔奖

Q：尊敬的德利涅教授，首先我们要祝贺您获得第11届阿贝尔奖。荣获这一著名奖项不仅是巨大的荣誉，也意味着六百万挪威克朗，亦即约1百万美元的奖金。我们很想知道您将如何处置这笔钱……

A：我觉得这笔钱并非真正属于我个人，而是应该属于数学。我有责任精打细算地使用好这笔钱。虽然目前还没有详细计划，但我打算把部分钱捐给曾对我起过重要作用的两个研究所：巴黎的法国高等科学研究院（Institut des Hautes Études Scientifiques,简称IHÉS）以及普林斯顿的高等研究所（Institute for Advanced Study，简称IAS）。

我也想捐一笔钱来支持俄罗斯的数学。首先要给高等经济学院（Higher School of Economics，简称HSE）的数学系。在我看来，那是莫斯科最好的地方之一。尽管它要比莫斯科大学的力学数学系小很多，却有更好的师生。学生人数很少：每年只招十五个新生。但他们都是从最好的学生中挑出的。高等经济学院由经济学家创立。他们在艰难的环境下尽了最大努力。其数学系则是于五年前，在莫斯科独立大学^[1]的帮助下建立的。它给整个高等经济学院带来了声望。我认为可以在那里用一笔钱。

青年时期

Q：您生于1944年二战末期的布鲁塞尔。我们很想了解您最初的数学经历。家庭或学校，哪一方面对此影响更多一些？您还能记起一些您最初的数学经历吗？

A：我很幸运，我的哥哥比我大七岁。当我看着温度计并注意到存在正数和负数时，他试着向我解释(-1)乘以(-1)等于1。这让我很吃惊。当他进入高中后，他又教我二次方程。他读大学时，给了我有关三次方程的一些笔记，上面有一个奇怪的求解公式。我感到非常有趣。

当我成为童子军时，我遇到了一个很好的机会。我有个朋友的父亲奈斯（Nijs）先生是一位高中教师。他在许多方面帮了我。特别是给了我第一本真正的数学书，即布尔巴基（Bourbaki）的《集合论》，这对一个小男孩来说并非是个好的选择。我那时才十四岁。我花了起码一年时间来啃这本书。我想我还听了其他一些这方面的报告。

能有机会按照自己的节奏去学数学的一个好处是，你可以重温过去几个世纪里的奇妙。我已经在别的地方读到了如何从整数出发来定义有理数以及实数。我记得在刚开始阅读布尔巴基的那本书时，很惊讶地发现整数居然能用集合论来定义，同时也很佩服人们竟然可以先定义何谓两个集合有“同等数目的元素”，并由此导出整数的概念。这家人的一个朋友也给了我一本关于复分析的书。见到复分析的内容如此不同于实分析的内容，也是一件让人很吃惊的事：例如，一个复变函数只要可微，就必定是解析的（存在幂级数展开）等等。所有那些你在学校里可能觉得枯燥的东西都给了我极大的快乐。

此后这位老师，奈斯先生，把我介绍给了布鲁塞尔大学的雅克·蒂茨（Jacques Tits）教授。虽然我还在读高中，但是我已能够旁听他的一些课程以及讨论班。

Q：听到您说您曾经在那个年纪就专研通常被认为很难的布尔巴基著作，很令人震惊。您能告诉我们一些有关您的正规学校教育的事吗？那是否让您感兴趣抑或让您厌烦？

A：我有一个出色的初中老师。我觉得我在初中学到的要比高中多得多：比如如何阅读，如何写作，如何做算术以及其他很多东西。我记得这位老师是如何通过做一个数学实验来帮助我思考证明、曲面和长度这些概念的。那个问题是比较具有相同半径的半球面和圆盘的面积。为此，他用一根螺旋绳索覆盖住这两个曲面。半球面需要两倍长的绳索。这促使我进一步思考：为什么能用长度来测量一个表面积？如何证明半球面的表面积确实是圆盘面积的两倍？

在我读高中的时候，我喜欢几何题。在那个年龄段，几何证明之所以有意思，是因为那些令人吃惊的结论总有不太难懂的证明。只要我们掌握了这些公理，我就能非常享受做这种练习题所带来的乐趣。我认为几何是中学阶段的数学中，“证明”在其中有意义的唯一内容。此外，写一个证明也是另一种极好的练习。这不仅涉及到数学。以我为例，为了论证一件事情为什么是正确的，你还得用正确的法语来写作。语言与数学的联系在几何中要比在代数等其他学科中有更强的联系。在代数里，你有一堆方程，其中逻辑与语言的作用并不是特别地明显。

Q：在您年仅16岁时，就去听雅克·蒂茨的讲课。有件轶事说，在某一周，您因为参加学校的郊游而无法去听课……?

A：是的，我是在那很久之后才听说的。当蒂茨来上课时，他问：德利涅在哪儿？有人向他解释说我参加郊游去了，于是课程被推迟到下一周。

Q：他肯定早已认定您是个才华横溢的学生。雅克·蒂茨也是阿贝尔奖获得者。他和约翰·汤普森 (John Thompson) 在五年前因为群论方面的重大发现荣获该奖。他一定是一位对您有影响的老师吧？

A：对，特别是在早期。在教学上，最重要的可能是明白什么事情你不要去做。举个例子，蒂茨要解释群的中心是一个不变子群。他开始了证明，然后停顿一下，一针见血地说：“不变子群是在所有内自同构下保持稳定的子群。我已经定义了中心。因此它在该情形的所有对称下保持稳定。因而它显然是不变的。”

对我而言，这是一种启发：对称思想的威力。蒂茨并不需要逐步写出证明，而是简单地阐明，对称可使结果变得显而易见，这一点对我影响很大。我极为注重对称，并且在我的几乎每一篇文章中都有基于对称的论证。

Q：您还能记得蒂茨是如何发现您的数学才华吗？

A：这我可说不了，不过我认为是奈斯先生请他对我多加关照。在那时，布鲁塞尔有三位真正活跃的数学家：除了蒂茨，还有弗兰兹·宾根（Franz Bingen）教授以及卢希恩·韦尔布罗克（Lucien Waelbroeck）教授。他们每年会组织一个不同主题的讨论班。我参加了这些讨论班，学习了不同的课题，譬如巴拿赫代数——这是韦尔布罗克的专长，以及代数几何。

然后他们觉得是我去巴黎的时候了。蒂茨把我介绍给了格罗滕迪克（Alexander Grothendieck），并且要我去参加他以及塞尔（Jean-Pierre Serre）的讲课。这是个很好的建议。

Q：这对外人来说有点出乎意料。蒂茨作为数学家对您很感兴趣，人们可能会认为他应该出于自己的利益想方设法留住你才对。可他却没有这么做？

A：他没有。他明白什么对我最有利，因而才会这么做。

代数几何

Q：在继续谈论您在巴黎的职业生涯之前，或许我们应该先试着向观众解释一下您的课题，即什么是代数几何学。

今年较早些时候，当菲尔兹奖得主高尔斯（W.Timothy Gowers）在宣布阿贝尔奖的过程中，他在向听众解释您的研究课题的一开始，就坦言这对他而言是件困难的事情。很难通过展示图片来说明这门学科，也同样很难解释某些简单的应用。不过你能否试着给我们一点代数几何是什么的概念吗？或许您能提一些将代数和几何彼此连接的明确问题。

A：在数学里，两种不同的思维体系相遇时总是非常美妙的。笛卡尔曾写道：“几何学是基于不准确的图形而进行正确推理的艺术^[3]。”这里“图形”一词用的是复数：要有多种观点并且要知道每一种是怎么错的，这一点非常重要。

在代数几何里面，你能够利用来自于代数的直觉（你可以在那儿摆弄方程）以及来自于几何的直观（你可以画图）。如果你画一个圆圈，并考虑方程x²＋y²＝1，那么你的脑海中就会出现不同的图像，你可以试着拿一个和其他的比一比。打个比方，轮子是个圆周，并且一个轮子在转；有趣的是你会看到代数中的类似物：x和y的一个代数变换把x²＋y²＝1的任何一个解映到另一解上。描述圆周的方程是二次的。这意味着和一条直线最多有两个交点。这也是你能在几何上看到的性质，不过方程给了更多的性质。比如，如果直线为有理方程且和圆＋的交点之一有有理坐标，那么另一交点也是有理坐标。

代数几何可以有算术上的应用。在你考虑多项式方程时，你可以在不同的数系中使用相同的表达式。比如，在定义了加法和乘法的有限集合上，这些方程会导出组合问题：你尝试着计算解的个数。但是你仍可以画同样的图，紧记着图形是错的这一新情形，并且在该情形中，你可以在考虑组合问题的同时，利用几何直观。

我从未真正在代数几何的中心工作过。我主要对所有触及该领域的问题感兴趣。然而代数几何触及到了许多方面！只要一出现多项式，你就能试着从几何上去看它；比如与费曼积分相关的物理，或者你考虑一个多项式开根的积分。代数几何对于了解多项式方程的整数解也有帮助。你知道椭圆函数的老故事：为了理解椭圆积分的性质，几何上的理解是十分关键的。

Q：代数几何是数学中的主要领域。您是否认为学代数几何需要比其他领域付出更多努力，起码对初学者是这样吧？

A：我认为进入这个学科很艰难，因为你必须熟练掌握大量不同的工具。首先，上同调如今是不可或缺的。另一原因是，代数几何经历了几个阶段的发展，每个阶段都有其自己的语言。首先是意大利学派，它有点不严格，正如那句声名狼藉的话所说的：“在代数几何中，一个定理的反例是对其有用的补充。”接着扎里斯基（Oscar Zariski）和韦伊（André Weil）将其建立在更严格的基础之上。随后塞尔和格罗滕迪克赋予其一套极具威力的新语言。在这套概型语言中，你能表达更多东西；它既涵盖了算术上的应用也涵盖了更多几何方面的内容。但是理解这套语言的威力需要花很多时间。当然，你需要了解大量基本定理，但我不认为这是主要障碍。最大的困难是理解由格罗滕迪克所创的这套语言的威力以及它如何与我们通常的几何直观联系。

巴黎学徒

Q：您在巴黎遇到了亚历山大·格罗滕迪克和让-皮埃尔·塞尔，您能给我们讲讲您对这两位数学家的第一印象吗？

A：在1964年11月的布尔巴基讨论班上蒂茨将我引荐给格罗滕迪克。我真的吓了一跳。他是个留着光头、有点奇怪的高个男人。我们握了下手，但直到数月后我去巴黎参加他的讨论班之前都没有进一步的交流。

那真是一段不寻常的经历。他以自己的方式表现得非常坦率与和蔼。我记得我参加的第一次课。在课上，他数次使用表述“上同调对象”。我知道阿贝尔群的上同调是什么，但我不知道“上同调对象”的意思。在课后，我问他这个表述是什么意思。我想许多别的数学家可能会觉得假如你不知道这个答案，那就没有跟你谈的任何必要了。这完全不是他的反应。他极为耐心的告诉我，如果你有一个阿贝尔范畴中的长正合列^[4]并考虑一个映射的核，用前一个映射的像商掉它，等等……我立刻意识到我曾在一个特例中了解过这些。他很能容忍无知的人。我觉得你最好不要就同一个愚蠢问题问他三遍，但两遍是可以的。

我完全不怕问愚蠢的问题，我将这一习惯保持到现在。听报告时，我通常都坐在听众席的前端。如果我有哪儿不懂了，我就会问问题，即使别人认为我应该知道答案。

我很幸运，格罗滕迪克要我整理他上一年的报告。他给了我他的笔记。我学到了很多东西，既包括笔记的内容也包括数学写作的方式……。这两者都很直接。写的时候你只在纸的一边写，留出空白以便他能作注释。但他也坚决要求你不能有错误的陈述。这是相当困难的。通常人们会图省事；比如不保持记号的一致性。这都无法通过他的检查。正确和精确是必须的。他说我的第一稿太短，没有充足的细节……不得不完全重写。这对我来说非常有好处。

塞尔有完全不同的风格。格罗滕迪克喜欢让事物达到简单自然的一般；得到一个整体性的理解。塞尔欣赏这一点，但他更喜欢漂亮的特例。他当时正在法兰西学院讲授椭圆曲线课程。在那儿，包括自守形式在内的许多不同的思想观点交织在一起。塞尔比格罗滕迪克有更为广博的数学知识面。在必要的时候，格罗滕迪克可能会亲自重新推导每件事，而塞尔可能会告诉人们去看这篇或那篇文献。格罗滕迪克读得相当少，他对古典的意大利派几何的接触基本上都来自于塞尔和迪厄多内（Jean Dieudonne）。我想塞尔肯定曾向他解释过韦伊猜想是什么以及它们为何有意思。虽然塞尔关注格罗滕迪克所做的那些宏伟构造，但它们并不合他的口味。他更喜欢诸如模形式那样具有漂亮性质的对象，理解具体的问题，例如系数之间的同余。

他们的风格完全不同，但我认为塞尔和格罗滕迪克之间的合作是非常重要的，这让格罗滕迪克能够做一些他的工作。

Q：您曾告诉我们您需要去听塞尔的讲课以便让自己脚踏实地对吧？

A：对，因为和格罗滕迪克一起卷入一般性中是很危险的。在我的观念中，虽然格罗滕迪克决不会创造无用的一般性，但是塞尔告诉我去看不同的课题，它们都被证实对我来说是很重要的。

韦伊猜想

Q：您最著名的结果是韦伊猜想中第三部分，也是最难的部分的证明。但在谈论您的成就之前，你能尽量解释一下为何韦伊猜想这么重要吗?

A：在一维的曲线情形，韦伊已经得到过一些定理。在有限域上的曲线和有理数域上的曲线之间有着诸多相似。在有理数域上，中心问题是黎曼猜想。韦伊已经证明了有限域上的曲线的类似黎曼猜想的结论，而且他也考察了某些高维情形。也就在那时期，人们开始理解了诸如格拉斯曼流形之类的简单代数簇的上同调。他发现某些有限域上对象的格点计数问题在复数域上有所反映，也反映了复数域上相关空间的形状。

正如韦伊所观察到的，韦伊猜想背后隐藏着两个方面内容。首先，为何在组合问题与复数域上的几何问题之间会明显地存在着联系？其次，黎曼猜想的类比是什么样子的？这些类比中产生了两类应用。第一类应用是由韦伊本人开始的：估计某些算术函数。对我来说，这不是最重要的。比这重要得多的是格罗滕迪克的形式化构造，它揭示了为什么复数域的内容——你可以在上面使用拓扑——与组合的内容之间应有联系。

其次，有限域上的代数簇允许典范的自同态，即弗罗贝纽斯（Frobenius）同态。它能被视作一种对称，这种对称使得整个情形变得非常刚性。然后你可以将这一信息变回到复数域上的几何世界中，它会对经典代数几何的性质产生很强的约束。这一点也被用于表示论和自守形式理论的应用中。虽然起初并不能一下子看出有这样的应用，但是对我来说它们才是韦伊猜想重要的原因。

Q：格罗滕迪克有一个关于如何证明韦伊猜想的最后部分的纲领，但是没有做出来。您的证明与此不同。你能评价一下这个纲领吗？它对您的证明方法有影响吗？

A：没有。在某种意义上，我觉得格罗滕迪克的这个纲领对证明的寻找起着阻碍作用，因为它会让人只朝着一个方向去思考问题。

假如一个人真能遵循该纲领给出证明，倒会更令人满意，因为它可能会解释许多其他有趣的事情。但是整个纲领依赖于找到代数簇上足够多的代数闭链；而在这个问题上，自70年代以来都没有本质的进展。

我采用了完全不同的思路。这是受到了兰金（Robert Rankin）的工作及其在自守形式上的工作的启发。尽管它有大量的应用，但它并未实现格罗滕迪克的梦想。

Q：韦伊猜想被证明了，听说格罗滕迪克很高兴，但仍旧有点失望？

A：是的。而且有个很好的解释。假如实现了他的纲领，那就好多了。他觉得没有其他方法能证明它。当他听说我证明了它，就觉得我肯定是这样来做的，可我没有。我觉得这就是他失望的原因。

Q：您得给我们讲讲塞尔在听到这个证明时的反应。

A：虽然我在没有得到完整证明时给他写了信，但是有个检验的例子是很清楚的。他刚好在需要去医院做肌腱拉伤的手术前收到信。他后来告诉我，他是怀着愉快的心情进入手术室的，因为他知道这个证明大致完成了。

Q：许多著名数学家都把您关于韦伊猜想的证明称作奇迹。你能描述一下您是怎么得到这个证明的想法的吗？

A：我很幸运我在同一时间内掌握了所有我所需要的工具，并且我认为那些工具能用上。证明的一些部分后来被杰拉德·洛蒙（Gerard Laumon）简化了，其中有很多工具也就不需要了。

在那时候，格罗滕迪克想将所罗门·莱夫谢茨（Solomon Lefschetz）在20年代关于代数簇超平面截口族的工作纳入到纯代数的框架中。特别重要的是莱夫谢茨的一个结论——后来由威廉·霍奇（William Hodge）证明，即所谓的强莱夫谢茨定理。莱夫谢茨的方法是拓扑的。和你可能想到的相反，如果论证是拓扑的，那么它要比解析的情形——诸如霍奇给的证明——更容易推广到抽象代数几何中。格罗滕迪克要我去看1924年由莱夫谢茨所著的《位置分析与代数几何》。这是一本非常漂亮且非常直观的书，并且包含了我需要的一部分工具。

我对自守形式也很感兴趣。我想正是塞尔跟我讲了罗伯特·兰金的一个估计。我很仔细地研究了一下。兰金通过检验某些相关的L-函数——需要用到兰道（Edmund Georg Hermann Landau）的结果——得到了模形式系数的非平凡估计，其中L-函数的极点位置给出了局部因子的极点的信息。我明白到同样的工具，只需要利用平方和是正的，就能以更精巧的方式用到这儿，这是因为有了格罗滕迪克的工作所给出的极点上的控制。这就足够了。极点要比零点更易于理解，并且有可能应用兰金的想法。

尽管我掌握了所有这些工具，但我没法讲清楚我是怎么把它们拼到一块儿的。

后续工作点滴

Q：Motive^[5]是什么？

A：关于代数簇的一个让人吃惊的事实是它们产生了不止一种，而是许多种上同调理论。这些理论包括l-adic理论——对每个不同于特征的素数l都有一个——以及在特征零时的德·拉姆（de Rham）上同调论。这些理论似乎一遍又一遍地在用不同的语言讲同一件事。Motive的哲学就是应当存在一个万有上同调理论，取值于要定义的motive的范畴中，所有这些理论都能从它导出来。对射影非奇异簇的第一上同调群，毕卡（Picard）簇担当了这个motive 的角色。毕卡簇是一个阿贝尔簇，进而由此知在任何有效的上同调理论中，都能被导出来。从这方面讲，阿贝尔簇——差一个同源——都是motive的原型。

格罗滕迪克的关键想法是你不应该试着去定义什么是motive。而是应该尽量去定义motive的范畴。它应该是一个阿贝尔范畴，其Hom群是有限维的有理向量空间。至关重要的是，它应该有取值于motive范畴的张量积，以便陈述万有上同调论的库讷斯（Künneth）定理。假如只考虑射影非奇异簇的的上同调，你就能谈论纯motive。格罗滕迪克提出了纯motive范畴的定义，并证明如果这个被定义的范畴有许多类似霍奇结构的性质，那么就能推出韦伊猜想。

为了让这个定义可行，你需要“足够多”的代数闭链存在。关于这个问题，几乎没有进展。

Q：您其他的结果怎么样？在您证明韦伊猜想之后的工作中，有哪一些是您特别喜欢的？

A：我喜欢复代数簇上的上同调的所谓混合霍奇结构的构造。一开始的时候，motive的哲学扮演了关键的角色，即使motive并未出现在最终的结果中。这种哲学显示，只要你在一种同调论里得到个结论，那么就值得在别的同调论中找到对应的结论。对射影非奇异簇来说，由伽罗瓦 (Évariste Galois）作用所扮演的这一角色类似于复情形中由霍奇分解所扮角色。譬如，用霍奇分解来表达的霍奇猜想就对应用伽罗瓦作用所表达的泰特（Tate）猜想。在l-adic情形，上同调和伽罗瓦作用对于奇异簇或非紧簇也能被定义。

这就促使我们问：复情形下对应的类似结论是什么？在l-adic情形，有条线索来自于一种递增滤链—加权滤链W——的存在性，该滤链中第i个商W是射影非奇异簇上的上同调的次商。因此我们期望复情形下有个滤链W使得其第i个商有权i的霍奇分解。另一条来自于格里菲斯（Phillip Griffiths）和格罗滕迪克的工作的线索是说，霍奇滤过要比霍奇分解更重要。这两条线索都导致了混合霍奇结构的定义，表明它们形成阿贝尔范畴，也表明了该如何构造它们。

Q：朗兰兹纲领怎么样？您曾参与其中吗？

A：虽然我对此极感兴趣，但我几乎没什么贡献。我仅做了一些关于两个变量的线性群GL(2)上的工作。我曾试图去理解一些东西。韦伊猜想有个较远的应用已经被用到吴宝珠最近的所谓基本引理的证明中。尽管我对郎兰兹纲领很感兴趣，但我自己却没做过太多工作。

法国、美国、俄罗斯数学

Q：您已经跟我们谈到了您主要工作过的两个研究所，即巴黎的法国高等科学研究院以及自1984年以来的普林斯顿高等研究所。我们很感兴趣于您离开法国高等科学研究院转到普林斯顿的动机。另外，我们还想知道在您心目中这两个研究所有何异同。

A：我离开的理由之一是，我不觉得一辈子留在同一个地方有多好。有点改变很重要。我希望能和哈里什-钱德拉（Harish-Chandra）有点交往，他在表示论和自守形式方面有一些漂亮的工作。那是我很感兴趣的朗兰兹纲领的一部分。但不幸的是,在我刚到普林斯顿之前不久，哈里什-钱德拉去世了。

另一个原因是，我在比尔斯镇的法国高等科学研究院期间，要求自己每年都能开一个讲新课题的讨论班。这有点多了。我无法真正做到既开讨论班又把它们写下来。在我来了普林斯顿后就不用承担这种义务。这些就是我离开法国高等科学研究院去普林斯顿高等研究所的主要原因。

至于两个研究所的差别，我想说高等研究所更老、更大，并且更稳定。两者都非常类似的方面是，有很多年轻的学者来访。因此它们都不是那种会使你懈怠的地方，你总是要和那些年轻人交往，他们会让你明白，你并不是自己所认为的那么优秀。

在这两个地方都有物理学家，但我认为在普林斯顿和他们打交道要比在比尔斯镇时使我受益更多。在普林斯顿，会有很多共同的讨论班。数学家和物理学家都会参加，一年到头都很紧张。这主要是因为爱德华·威滕（Edward Witten）会出席。他虽然是物理学家，但却获得过菲尔兹奖。当威滕问我问题时，虽然可能很窘迫，但尝试作答总是很有趣。

普林斯顿不仅仅有数学和物理，还有历史研究院和社会科学院，从这个角度上说，它也更大一些。尽管和这些学院没有真正的科学交流，但是能够去听一堂如有关古代中国这样的课还是很愉快的。比尔斯镇有一个普林斯顿没有的特点：在比尔斯镇，自助餐厅很小。因此你能有座位就好，而无从选择和谁坐一起。我就经常坐在一个分析家或者物理学家身边，这种随机的信息交流非常有用。在普林斯顿，有一张桌子是给数学家的，另外的给天文学家、普通物理学家以及其他等等。当然，如果你坐错了位子，人家也不会让你走，但其中还是存在着隔阂。

高等研究所有很大一笔捐赠，而法国高等科学研究院却没有，至少我在的时候没有。但这并不影响学术生活。有时它会导致不稳定，但是管理层通常都有办法对我们掩饰这些困难。

Q：除了您和法国及美国数学的接触之外，早在铁幕倒台前，您就曾在很长时间内与俄罗斯数学密切接触。实际上，您妻子是俄罗斯数学家的女儿。您对俄罗斯数学的接触是怎么发展起来的？

A：格罗滕迪克或塞尔告诉当时在莫斯科的马宁（Yuri Manin），我曾做了一些有趣的工作。该学院便邀请我参加了为维诺格拉朵夫（I.M.Vinogradov）而召开的一个会议，顺便提一下，他是个极端反犹太的人。我来到莫斯科，发现了一种优雅的数学文化。在当时，数学是少数几个不被共产党干涉的学科之一，因为共产党完全不懂数学，因而这就使之成为自由的空间。

我们会去某人家里，围坐在厨房桌边，一边喝茶一边聊数学。我深爱这种氛围以及那种对数学的热情。此外，俄罗斯数学在那时是世界上最好的数学之一。今天在俄罗斯虽然还有许多数学家，但是已经存在灾难性的移民。此外，在那些想留下来的人中，许多人还是迫于生计，需要花一半时间在国外。

Q：您刚才提及维诺格拉朵夫和他的反犹太主义。您和谁讨论过并且问过他是否会被邀请？

A：此人正是皮阿杰茨基-夏皮罗（Piatetskii-Shapiro）。我是完全不懂的。我和他曾有长时间的讨论。我觉得像他那样的人应当获得维诺格拉朵夫的邀请，但我被告知，事实不是这样。

在介绍了俄罗斯数学之后，我还有些在俄罗斯的美好记忆，怀念和尤里·马宁、谢尔盖·伯恩斯坦（Sergey Bernstein）的谈话以及盖尔范德的讨论班。那儿有一种至今存在的传统，就是在大学和中学教育之间的一种很强的联系。像安德列·柯尔莫哥洛夫（Andrey Kolmogorov）那样的人都对中学教育颇感兴趣——可能不总是只针对最好的学生。

他们也有奥林匹克竞赛的传统，并且善于较早地发现数学上有前途的人以便帮助他们。讨论班传统则有点危险，因为重要的一点是讨论班的主持人必须要求是全职在莫斯科工作的，这一般做不到。我觉得维护好这一个传统是很重要的。那就是为什么我用一半的巴尔扎恩奖金去试着帮助年轻的俄罗斯数学家。

Q：是通过您所策划的竞赛。

A：是的。因为没钱留住那些人，所以这个体系的上层正在垮塌，但是其基础很好，以至于还能持续产生非常出色的年轻数学家。你得尽量帮助他们，使得他们可以在俄罗斯待得稍微久点，以便这个传统能持续下去。

数学上的竞争与合作

Q：一些科学家和数学家的动力主要是希望成为首位主要发现者。这似乎不是您的主要动力？

A：对。我压根儿不在乎。

Q：您对此类普遍现象有何一般的看法？

A：对格罗滕迪克来说这很清楚：他有一次跟我说，数学不是一种竞技运动。数学家们各不相同，有些人想要成为第一，特别是当他们从事于非常特殊且困难的问题时。对我而言，更重要的是创建工具以及理解总体的构想。我认为数学更多的是一种长期性的共同事业。和物理学及生物学相比较，数学论文的寿命更长，更有用。比如，文献引用机械的评估标准在数学里就特别没道理，因为那些评估方法只考虑了最近三到五年期间内的已出版论文。这在数学里没有意义。在我的一篇有代表性的论文中，我觉得起码有一半被引用的文献都有二十到三十年这么久。有些文献甚至可能有两百年之久。

Q：你喜欢写信给其他数学家吗？

A：是的。写一篇论文要花好多时间。写论文有助于将每件事以正确方式组织起来，并且这样做能让人学到很多，但也稍稍有点让人厌烦。因此在形成想法之初，我发现写信是很方便的。虽然我将信寄出去，但这其实更像是写给我自己的。因为我不必顾虑收信人知道哪些东西，所以有些内容可以简写。有时候一封信或者它的副本会搁在抽屉里好多年，但是它保存了想法并且可作为我最终写文章时的一份蓝图。

Q：当您给某人写信而那人也提供了一些补充想法时，那是否会导致一篇合作论文？

A：那可能会发生。我绝大部分论文都是我自己单独做的，有一些是和有相同想法的人合作的。写合作论文要比顾虑谁做过这些来的好。有一些真正合作的例子，人们在合作中提供了不同的直觉。一个例子是和乔治·鲁兹蒂克（Georg eLusztig）合作。虽然鲁兹蒂克有如何使用群表示的l-adic上同调的完整构想，但他不懂那些技巧。我已经知道那些关于l-adic上同调的技巧，并且我能够给他所需要的工具。这就是一次真正的合作。

一篇与摩根（John Morgan）、格里菲斯及沙利文（Dennis Sullivan）的合作论文也是一次真正的合作。

还有和伯恩斯坦（Joseph Bernstein）、贝林森（Alexander Beilinson）及盖博（Ofer Gabber）的合作：我们把不同的理解综合起来。

工作风格、图景和曾经的梦想

Q：您的履历显示您没有教过很多次大课，因而从某种意义上说，您是少数能将全部时间用于研究的数学家之一。

A：是的。我觉得我很幸运，从来不用教课，一直这样。我非常喜欢和人交谈。在我工作过的两个研究所，年轻人经常来找我聊。尽管有时我回答他们问题，但更经常的是我反问他们问题，这些问题有时也很有趣。因此这种一对一接触式的教学，尽量提供有用的信息并在此过程中学习，对我来说很重要。

我猜，教那些对数学没有兴趣，只为其他目的而追求好成绩的人是很痛苦的。

Q：您的数学工作风格怎么样？您是经常被例子、特殊的问题以及计算所引导，还是更愿意纵览全局以及发现联系呢？

A：首先我需要有个总体性的构想：什么应该是对的，什么应该可行以及什么工具能被用。我读论文时，通常不会去记忆那些证明细节，但是我会记住哪些工具被用到。为了不做毫无意义的工作，能够猜到哪些是对的哪些是错的，是非常重要的。我不去记那些被证明的陈述，而是更愿意在脑海中保留许多图景。不只是一个图景，也包括所有错误的但是来自于不同方面的图景，并且要知道它们在哪一方面错了。对许多课题来讲，如果一个图景告诉我某件事是对的，我就认为那是理所当然的，并且今后会回到那个问题上。

Q：在这些非常抽象的对象中，您有何种图景?

A：有时是非常简单的东西！比如，假如我有一个代数簇以及一个超平面截口，我想要理解他们如何关联起来，就通过考察超平面截口束。这个图景很简单。我在脑海中画下它，类似于平面中的圆圈和扫过它的直线。然后我知道这构想是如何错的：这个簇不是一维的而是高维的，并且当超平面截口退化时，并非仅仅是两个交点汇合在一起。局部图像更复杂，类似于能够形成二次锥的圆锥曲线。这些就是放在一起的简单图景。

当我有从一个空间到另一个空间的映射时，我就能研究它所具有的性质。然后图景能够使我明白到它是光滑映射。除了有一堆图景之外，我也有一堆简单的反例，并且我希望是对的那些陈述必须再次接受这些图像和反例的检验。

Q：因此您认为在几何中的图景要比代数的更多？

A：是的。

Q：有些数学家说，好的猜想，甚或好的梦想，至少和好的定理一样重要。您同意吗？

A：绝对同意。比如韦伊猜想已经引发了大量的工作。该猜想的一部分是关于代数系统的具有某些性质的上同调理论的存在性。这是个模糊的问题，但是没关系。为了真正掌握它，至少花了二十年的功夫，甚至更久些。

另一个梦想的例子是让很多人投身其中起码五十年的朗兰兹纲领，并且我们至今仅仅是对此有了稍微好一点的了解。

还有个例子就是格罗滕迪克关于motive的哲学，关于它几乎没有什么被证明过。有大量的用于处理这些要素的转化形式^[6]。虽然有时这样一种转化能够实际应用于证明，但更多时候这种哲学被用来猜测什么会发生，然后你可以试着去用其他方法证明它。这些都是关于梦想或猜想的例子，它们比具体的定理重要得多。

Q：在您的职业生涯中，您是否在某个时候有过“庞加莱时刻”^[7]，让您瞬间领悟到已研究了很久的一个问题的解答呢？

A：我最近的一次这样的时刻，是在研究韦伊猜想的过程中，当我明白到可能有一种途径——使用兰金的方法而非格罗滕迪克——的时侯。这个想法在此后花了几个星期才实现出来，因此它酝酿得相当慢。可能混合霍奇结构的定义也是如此，而且在这个例子中，那是一个逐渐发展的过程。因此那并不是瞬间得到的完整解答。

Q：当您回首从事数学的五十年时，您的工作以及工作风格在这些年是如何改变的？您还像早年那样执著地工作吗？

A：我不如早年那么强健了，从这意义上说我不可能像以前那样集中地长时间工作。我觉得我损失了部分想象力，不过我掌握了更多技巧，能够在一定程度上起到替代作用。我曾和很多人交流的事实也让我获得了我自己损失的部分想象力。因此当我运用技巧时，这样的工作可能有用，但我在三十岁时可不这样。

Q：您相当早就从普林斯顿高等研究院的教授职位上退休下来……

A：对，但那只是形式。这意味着我收到的不再是薪水而是退休金；不再参加选择来年人员的会议。因此这就是全部最好的安排。这让我有更多时间做数学。

对未来的期望

Q：当您审视代数几何、数论以及您关心的相近领域时，是否有任何难题或者领域是您希望能尽快看到进展的？在您看来，什么是特别重要的？

A：无论如何，对于今后十年内的进展我完全没有想法，将来应该如何……不过我倒非常想看到我们在对motive的理解上有所进展。哪条途径可循以及什么是正确的问题，有很多是悬而未决的。格罗滕迪克的纲领依赖于证明具有某些性质的代数闭链的存在性。对我来说，这看起来毫无希望，但我可能错了。

另一类我真正想看到进展的问题和朗兰兹纲领相关，不过那是段极长的故事……

在另一个方向上，物理学家经常会提出意想不到的猜想，其中大部分经常使用完全不规范的工具。但迄今为止，只要他们作出预言，比如关于某些曲面上具有某些性质的曲线个数的数值性预言——这都是些可能上百万的大数字——他们总是对的！有时候数学家们做的早先的计算和物理学家预言的不一致，但物理学家总是对的。他们已经涉及到一些真正有趣的事情，但我们迄今为止都无法理解他们的直觉。有时他们做出一个预言，我们则得到一个极为复杂难懂、没有真正理解的证明。这本不该如此。在一个有高等学院物理学家在场的讨论班上，我本来希望可以不依赖于爱德华·威滕而是能够做出我自己的猜想。我失败了！我不能充分地理解他们的图景能够做到的事，因此我依旧要靠爱德华·威滕来告诉我什么应该是有趣的。

Q：您对霍奇猜想有什么看法？

A：对我而言，这是motive的内容中的一部分。它是对是错并不是关键。如果它是对的，那非常好，并且解决了一大部分用合理方式构造motive的难题。如果有人能找到闭链的纯代数概念使得霍奇猜想的类似结论成立并有很多可预见的东西，那样也有着同样的作用，而且我会像霍奇猜想被证明了一样感到高兴。对我来说，它是motive，不是霍奇，这很重要。

个人爱好和一个老故事

Q：我们有个习惯就是通过问一些数学以外的东西来结束访问。您能告诉我们一些您专业以外的个人爱好吗？例如我们知道您在大自然和园艺方面的爱好。

A：这些是我的主要兴趣。我发现地球和大自然如此美丽。我不满足于轻易地去到一地，看一眼风景。如果你真想从山上领略风景，你就不得不徒步爬山。类似地，为了看到大自然，你必须行走。正如在数学里，为了获得天性的愉悦——这种天性是愉悦的美好的来源——你必须做一些工作。

我喜欢自行车，因为那也是一种四处看看的方式。当对于步行而言路程较远时，这是另一种体验自然的方式。

Q：我们听说您也搭冰屋？

A：对。不幸的是，每年都没有足够的降雪，即使有雪也很难对付。如果它太粉，那就什么也做不了；如果它太硬太冰的话也同样不行。因此每年可能就有一天，或者几个小时是可能搭冰屋的，而且你要愿意做压紧冰以及堆砌这些制造物的工作。

Q：然后你就睡在里面？

A：对，我睡在冰屋里。

Q：请讲讲您的童年故事。

A：好。我曾在比利时海边过圣诞节，那儿有很多雪。我哥哥和姐姐——他们比我大很多——有建造冰屋的好主意。我在这方面懂得不多。但是他们随后就决定我可以在一件事上有用：抓着我的手和脚，用来压紧雪。

Q：非常感谢您同意我们这次采访。我们也代表挪威、丹麦和欧洲数学会表示感谢。非常感谢！

A：谢谢！

注释

[1]  Independent University of Moscow，此校于1991年由弗拉基米尔•阿诺尔德和谢尔盖•诺维科夫等所创立。

[2] Holmboe Prize，以阿贝尔的数学老师与朋友Bernt Michael Holmboe（1795-1850）的名字命名。

[3] 英文为Geometry is the art of correct reasoning on incorrect figures，此引文通常被认为源自波利亚，见其1945的著作《如何解题》（How to Solve It?）

[4] 此处疑为口误。

本文经授权转载自微信公众号“数学文化”，原题目为《采访阿贝尔奖得主皮埃尔• 德利涅》。