撰文 | 丁玖（美国南密西西比大学数学系教授）

说起“混沌”，人们总会提到被誉为“混沌之父”的美国气象学家爱德华·洛伦茨 (Edward Norton Lorenz，1917-2008)，可是有几个人了解混沌发展史上那些被有意或无意隐藏或一带而过的细节，尤其当细节涉及的是被媒体记者或畅销书作家认定“无关紧要”的人物？

在洛伦茨那篇青史留名的科学论文《确定性的非周期流》(Deterministic Nonperiodic Flow) 发表54年后的2017年秋，作为该校“洛伦茨中心”的副主任，麻省理工学院的地球物理学家丹尼尔·罗斯曼 (Daniel Rothman) 在为次年初将要举办的一场纪念洛伦茨百年诞辰的研讨会做准备而忙碌着。他再次打开了洛伦茨这篇已被成千上万的科学论文引用过的杰作。尽管他对该文的“科学部分”非常熟悉，他甚至在以往的课堂上还专门教过有关内容，但在这一次，当他的眼光落到本文参考文献后头的“非科学部分”——“致谢”处时，他却读到他以往从未注意过的一句话，就像哥伦布突然发现了新大陆：“Special thanks are due to Miss Ellen Fetter for handling the many numerical computations and preparing the graphical presentations of the numerical material（特别感谢艾伦·费特小姐处理了许多数值计算并准备了数值材料的图形演示）.”

费特是谁？她就是下面照片中这位美丽动人的“混沌幕后的女英雄” （摄于她23岁时）：

艾伦·费特 (Ellen Fetter；生于1940年) 并非被洛伦茨的影子遮掩自身光芒的唯一女性。还有一位，虽然在混沌的殿堂里同费特一样籍籍无名，却在另一领域大放异彩。她早于费特为洛伦茨工作，她的芳名是玛格丽特·汉密尔顿 (Margaret Hamilton；生于1936年8月17日)。下面是取自维基网页上她摄于1995年的头像，已近花甲之年的她，依然如此知性优雅： 

她们两人，加上最终学位高于她们俩的洛伦茨，有个共性：学士学位全都来自数学。他们还都实现了一个人人都孜孜以求的梦想：长寿；男士洛伦茨享年91岁，两位女士则都还健在，年龄分别为83和86周岁。年轻时以数学为专业，并能活满长寿一生，生命中还有什么比这更美好的呢？

5月12日是Women in Mathematics Day（女性数学日），这是为庆祝菲尔兹奖首位女获奖者玛丽安·米尔札哈尼 (Maryam Mirzakhani，1977-2017) 在数学领域辉煌一生而于2019年设立的国际数学日。在此，回顾汉密尔顿和费特为建立混沌理论所做出的历史性功绩，是件有意义的事。

玛格丽特·汉密尔顿

现如今，“软件工程 (software engineering) ”早已是计算机及信息科学行当的热门术语和赚钱职业，但正如《软件杂志》2018年刊登的一篇文章在文首所说的那样，“得知他们学科的创始人是一位女性，今天的大多数软件工程师可能会感到惊讶。”这位女性就是玛格丽特·汉密尔顿。 

这是她在半个世纪前参与美国“阿波罗登月计划”时所做的众多贡献之一，在科学界广为人知，她也获得若干政府嘉奖。但在六十多年前她刚走出大学校门后的岁月，她对天气预报的数值模拟工作导致混沌理论的初现，给出了她一生中的第一项科学贡献，只不过这项成就鲜为大众所知。 

汉密尔顿原名Margaret Elain Heafield，出生于美国印第安纳州一个只有三四千居民的小镇Paoli，后来随父母移居到北边的密歇根州，在那里读完高中后于1954年考入本州最好公立大学密歇根大学。但由于她的母亲曾在印第安纳州的一所私立人文学院——厄勒姆学院 (Earlham College) 读过书，她于第二年也转到母亲的母校，主修数学，副修哲学，三年后她获得了该校的数学学士学位，和母亲成了隔代校友。这所由新教徒宗教团体贵格会 (Quakers) 建于1847年，到现在学生总数也不足750人的小型学院，不仅给其学生传输了人文和科学知识，还注重以正直、对和平和正义的承诺、人与人之间相互尊重等价值观影响他们。

大学刚毕业，玛格丽特就与同在本校念书的詹姆斯·汉密尔顿 (James Hamilton，1937-2014) 因爱而婚。后来，她在本州小城波士顿一高中短暂教书，这是美国数学系本科毕业生的常去之处，甚至任教终生。但是他们很快有了新的打算，搬到文化教育大城波士顿，汉密尔顿先生去了哈佛大学法学院读书，汉密尔顿夫人起初计划去布兰迪斯大学读抽象数学的研究生，但她很快改变了初心，去了本市最好的工程大学——麻省理工学院担任计算机程序员。很快，她加入到气象学教授洛伦茨的团队并为之做计算编程工作，参与了发现天气预报混沌现象的最初过程，见证了混沌概念的萌芽出土。 

23岁的数学学士汉密尔顿夫人于1959年夏来到数学硕士、气象学博士洛伦茨教授的研究小组时，后者刚刚购买了一台Royal McBee公司制造的LGP-30型台式计算机，并自己学会了怎样用它。这台机器有八百磅重，一个人驾驭不了，需要熟练的程序员相助。这让我想起四十年前当我和研究生师兄弟们在南京大学的计算中心编程算题时，机房里有一支“程序员娘子军”忙个不停。美国氢弹之父乌拉姆在他的自传《一个数学家的经历》中也回忆道，在曼哈顿原子弹研制工程中，包括他太太在内的“教授夫人”们被召集起来组成了“程序员大军”，协助她们的丈夫完成了原子弹的繁复计算工作。

不过汉密尔顿要比一般的程序员强多了，那些程序员主要是体力劳动者，输入卡片等人工操作几乎不需要数学头脑，汉密尔顿则不仅动手，而且更动脑子，她的数学训练使得她在洛伦茨关于天气预报的开创性数值研究中所起的作用，同她的后继者费特一样，等价于半个洛伦茨。

在与洛伦茨一起工作的两年间，按汉密尔顿自己的感受说，“是我成长的岁月”。在2019年美国Quanta Magazine（量子杂志）刊登的一篇文章里，科学记者Joshua Sokol这样叙述了汉密尔顿对青春年华的追忆：“有次聚会凌晨三四点结束后，她意识到 LGP-30 无法在第二天早上产生结果，于是和几个朋友赶过去启动它。还有一次，由于对修复错误后再次运行机器所必须做的所有事情感到困扰，她想出了一种方法来绕过计算机笨拙的调试过程。令洛伦茨高兴的是，汉密尔顿会拿起要输进计算机的纸带，将它卷过走廊，然后用削尖的铅笔编辑二进制代码。‘我会为其中的几个纸带戳洞，然后用透明胶带把其他的盖起来，’她说。” 

汉密尔顿来得正是时候，很快洛伦茨和他的助手开启了用12个常微分方程来做数值模拟“小范围天气预报”的航程。作为精力充沛、事业蒸蒸日上的气象学副教授，他自然是领航者，汉密尔顿则为他的计算想法编码实现。他们将计算机设置成慢慢打印出众多变量中的一个或几个随时间而变化的图象。打印的结果既显示了周期现象，也出现了一些非周期性，一切似乎都颇为合理。然而某一天， 事情出现了变化，而这碰巧是由美国绅士常有的喝咖啡爱好引发的。

那天，他们设置的打印结果不是图象，而是几个变量对应于时间演化同一时刻的函数值，每一行打印的是一天后的天气数据。算了一阵子后，洛伦茨的咖啡瘾上来了，于是他将打印出的一组数字作为初始数据重新输进计算机做第二次运算，然后穿过大厅下楼喝咖啡去了。一小时后他回来，奇怪的事发生了。新的计算表明，在时间进行不长时，这一次与上一次的数值基本吻合，但随着时间的拉长，两个结果之间的差异呈现出“指数级的增长”，导致两个月后的天气形势面目全非。 

接下来的故事已是经典性的了：洛伦茨发现他喝咖啡前输进的数据仅仅是计算机里参与运算的六位小数四舍五入到三位的打印近似，所以第二次的计算一开始就已经带有大约万分之五的“初始值误差”，而由于他们数值求解的微分方程具有对初始条件的敏感依赖性，初始误差被快速放大，致使一段时间后误差大到让人无法容忍。由于实际的天气预报依赖观测数据，而观测误差不可避免，因此他的发现击碎了长期天气预报的幻想。后来的流行语“蝴蝶效应”形象地描绘了这一点。（参见《气象学家与数学家的混沌接力》）

然而洛伦茨并没有将他的科学发现很快写成文章发表——他的名篇《确定性的非周期流》也是等到1963年上半年才正式问世——而是在1960年11月于东京召开的一次数值天气预报学术会议上，他就此作了一个报告。报告后听众席中有人问：“你是否稍微改变了初始条件，看看结果有多少不同？”他回答道：“事实上，我们用同样的方程试过一次，看看会发生什么。”这说明他和汉密尔顿在这之前已经数次观察到天气预报的蝴蝶效应。在美国科学记者格莱克的报告文学名著《混沌：开创一门新科学》中，这个“播下了一门新科学的种子”的大发现，时间被向后移动了一年。

洛伦茨因为在上世纪60年代率先在自然科学领域发现混沌现象，故而在从70年代中期开始的混沌热中于科学界和公共媒体界变得大红大紫。然而他始终以一名绅士的举止出现，谁帮助过他，他就真心实意地感谢对方。对于程序员汉密尔顿，他在论文的致谢处写道：“The writer is greatly indebted to Mrs. Margaret Hamilton for her assistance in performing the many numerical computations which were necessary in this work（作者非常感谢玛格丽特·汉密尔顿夫人协助进行了这项工作所必需的许多数值计算）.”这种虚心做法和道德情操，无疑很值得科技人员学习，尤其是那些“明星科学家”。 

从形象上看，在科学记者格莱克的笔下，洛伦茨的面孔“像饱经风霜的美国老农，然而眼睛又是出奇地有神，使他看起来好像总是在笑。他很少谈论自己或自己的工作，只是倾听别人讲话。” 

1961年夏，汉密尔顿因加入另一个项目而离开了洛伦茨的小组，但在她走前很负责地帮洛伦茨面试并雇来了新的程序员费特。从此，她走上了一条事业上极其成功的更宽广大道，这条金色的大道由于披上了飞往月球的“阿波罗战袍”而使她全身越来越“金光闪闪”，其耀眼的光芒可以与她人生中的第一个编码导师洛伦茨相媲美，甚至可能还超过了他。 

她没有离开麻省理工学院，只是换到了林肯实验室，在那里工作到1963年，为几个重要项目编写软件程序。然后，她加入仪器实验室，成为阿波罗探月计划聘用的第一位程序员。两年后，她开始领导阿波罗项目中的机载飞行软件团队，职务是“软件工程部”主任。洛伦茨的“玩具天气预报”只是一个气象学教授的几人小团队科学探索，而“阿波罗登月计划”却是人类向太阳系空间进军的大号角，是美国宇航局 (NASA) 的千人大集团一次雄心勃勃的宇宙探险。领导这个大工程的软件开发，不仅需要科学知识、工程背景和技术经验，并且需要逻辑思维和形象思维的综合素质，受过数学和哲学双重熏陶的汉密尔顿被委以重任。

1969年7月20日，当阿波罗 11 号宇航员尼尔·阿姆斯特朗 (Neil Armstrong，1930-2012) 成为人类历史上第一个在月球上的行走者时，全世界的人们只被这个激动人心的新闻所震撼，他们的目光只聚焦在那个英雄男人身上。可是，正如2016年一篇卡通文意味深长的标题所云：她是“把男人送上月球的女人 (The woman who put a man on the moon)”。没有以汉密尔顿为首领的软件工程师团队专门开发出的飞行软件，阿波罗11号飞不到月球，阿姆斯特朗更跨不出人类历史上的这一步。

历史已经记载，正是在阿波罗计划紧锣密鼓进行之时，汉密尔顿发明了今天已是家喻户晓的术语“软件工程”。多年后，她这样回忆道： 

“当我第一次提出这个词时，之前没有人听说过它，至少在我们这个世界上是这样。很长一段时间以来，这一直是个笑话。他们喜欢拿我激进的想法开玩笑。这是一个值得纪念的日子：一位最受尊敬的硬件大师在一次会议上向所有人解释说，他同意我的观点，即构建软件的过程也应该被视为一门工程学科，就像硬件一样。不是因为他接受了新的“术语”本身，而是因为我们赢得了他的认可，也赢得了房间里其他人的认可，因为我们本身就属于工程领域。”

在美国杂志《连线》(Wired) 九年前的一篇文章《软件——和一个女人——处于月球胜利的核心》中，作者写道：“汉密尔顿与另一位早期编程的先驱、COBOL发明者格蕾丝·霍珀一起，也因帮助更多的女性进入软件等科学、技术、工程和数学领域并取得成功而配得上巨大赞誉。” 霍珀 (Grace Hopper，1906-1992) 也是一位传奇，她于耶鲁大学获得数学博士学位，当过“七姐妹女校”之一瓦萨学院的数学教授，二战后期投身于海军研发事业，发展了软件科学，最后官拜海军少将。

自1986年以来，汉密尔顿获奖无数，最引人注目的是2016年奥巴马总统授予她“总统自由勋章”，这是美国平民的最高荣誉。 

艾伦·费特

艾伦·费特之所以在洛伦茨最伟大的论文里留下了名字，是因为文章中计算机指挥打印机画出的、看上去很像蝴蝶两侧翅膀、后来被称为“洛伦茨吸引子”的那张图上也有她的汗马功劳。 

1961年，恰在汉密尔顿将去林肯实验室前，费特被她招进气象小组继续自己的程序员角色。这位年方21岁的青春少女，刚从美国第一家女子学院、七姐妹女校老大姐的曼荷莲学院 (Mount Holyoke College) 获得数学学士学位，被麻省理工学院核工程系一位管理LGP-30计算机的女士推荐给汉密尔顿，后者面试她后满意地请她用数学的头脑为洛伦茨的气象研究服务。 

工作的第一天，当费特进入位于麻省理工学院校园中央地带的第24号楼，洛伦茨递给她一本计算机使用手册和几个程序问题让其先练练兵，不久她就跟上了速度。对于自己的这位领导，费特回忆道：“他脑子里装了许多东西，有时他会带进来一张黄色纸片，并从口袋里拉出小纸片，然后说‘让我们试试这个’。”她和她的前任一样，几十年后依然用热情洋溢的语言谈论洛伦茨的谦逊与指导。在后来的混沌编年史家将这两人排除在外之前，洛伦兹就在自己的论文中感谢了她们。

此时，洛伦茨发现之前采用的12个常微分方程对直击问题的要害似乎太多了点，便从一位耶鲁大学的地球物理学家萨尔茨曼 (Barry Saltzman，1932-2001) 拥有的七个方程库中借来了三个对流方程来描述一个更简单的非周期性系统，这组常微分方程描绘了一个烧杯中的水从下面加热并从上面冷却过程中的状态变化。它们在1963年被印在《大气科学杂志》内一篇论文的某页上后，从70年代起成了混沌的标志性建筑，并且有了一个人性化的称谓“洛伦茨方程”。在发表的文章中，洛伦茨不仅写下了本文一开始引述的对费特的致谢词，而且也感谢了萨尔茨曼，这是他一贯的行为方式。

这些方程中的三个变量大致给出了理想化的烧杯中水的对流速度和温度变化之间的关系，它们可用三维空间中的点的三个笛卡尔坐标表示；数学家称这个空间为相空间。洛伦茨和费特让打印机画出这个随着时间而变化空间位置的动点轨迹图，结果发现这个图的形状像极了一只蝴蝶的双翅。按照微分方程的基本理论，采用连续动力系统的术语，这些解曲线形成的“非周期流”不会自我相交，但却在那对双翅内部向前猛游，到处乱窜。初始条件的小小改变，将极大地改变相流动点的轨迹。当这对气象学家发现的数值化翅膀飞遍科学界后，严格的数学家们开始对之进行理论研究，发现它具有所谓的“分形结构”，本身具有混乱的动力系统现象，并且吸引附近的初始点，于是将它命名为“洛伦茨吸引子”。

洛伦茨和费特通过数值模拟那三个对流方程而观察到的“系统对初始条件的敏感依赖性”和蝴蝶双翅吸引子，构成了他那篇1963年问世的里程碑文章《确定性的非周期流》的主要论题，十年后激发李天岩和约克在“不朽的数学珍品”《周期三则意味着混沌》中首次定义数学术语“混沌”，成为接下来蓬勃兴起的混沌理论的基石。让洛伦茨同样愉快的是，在文章被期刊接受发表的1962年，他也被学校晋升为正教授。

就在洛伦茨这篇光辉论文发表的同一年，费特与在麻省理工学院读博士学位的一名优秀男青年的爱情也成熟了。她与她的如意郎君结了婚，这意味着她也要离开这份她所热爱的计算工作以及她为之效力的那个绅士，因为她的丈夫约翰·吉尔 (John Gille，1935-) 已经获得地球物理学的博士学位，将去南方的佛罗里达州立大学任教。费特在那所大学做了几年的计算机程序工作后决定回归家庭，照顾几个孩子。到了70年代，吉尔博士转到了卡罗拉多州的国家大气研究中心任职，全家自然也一同跟去。吉尔太太希望继续从事软件工作，为此她去了同处一城的卡罗拉多大学博尔德分校充电，念了一些计算机科学的课程，但最终她还是放弃了这类更钟情年轻人的职业，转向了税务工作。 

费特的子女由于父母的精心培养而发展很好。她的女儿莎拉·吉尔 (Sarah Gille) 也去了父亲的本科母校耶鲁大学读书，毕业后追随父亲的足迹去了麻省理工学院攻读物理海洋学的博士学位，现在是加州大学圣地亚哥分校的物理海洋学教授。有趣的是她90年代在麻省理工学院读博士研究生时所在的系，是于1983年由气象系、物理海洋系和地质系“合三为一”的结果，所以系名很长，叫做“地球、大气和行星科学系”。这样一来，洛伦茨也算是她的“本系先辈教授”。 

本文开头所说的洛伦茨中心副主任罗斯曼也是这个系的教授。当他在洛伦茨论文的致谢处发现了陌生的“艾伦·费特小姐”后，马上上网搜寻她，终于看到1963年7月她和新郎登在纽约时报上的结婚启事。这时，他的一位同事记得二十年前本系有个研究生叫莎拉·吉尔，于是罗斯曼教授联系上了莎拉，方知她是艾伦·费特和约翰·吉尔的爱情结晶。通过莎拉的引荐，罗斯曼也和她的母亲电话交谈，才知道在费特小姐之前还有汉密尔顿太太和洛伦茨一起工作，这样，在全世界传播了几十年的“混沌”故事背后隐藏的两位女英雄终于浮出水面。 

或许，费特的女儿在这之前并不知道自己的母亲在混沌发展史上所起的作用，但是当她在本科时修读一门关于怎样科学编程的课程时，全班同学研究的一个案例竟是洛伦茨在那台LGP-30计算机上的发现！到了她念研究生的时候，她的一个办公室伙伴在一项资格考试中曾被问及：“你会如何向你母亲解释混沌理论？”现在，莎拉有理由好奇，如果那时这个问题问的是她，她的对那段历史记忆犹新的妈妈会向她全盘托出60年代初LGP-30旁的打印机如何画出那对漂亮无比的蝴蝶翅膀吗？ 

是的，虽然中年后的汉密尔顿可能被阿波罗的“可上九天揽月”宏图忙得无暇回忆往事，费特的脑海里却一直没有忘记她曾亲手体验过的数值天气预报 “差之毫厘失之千里” 之特征。即便离开了东海岸的波士顿，她和丈夫仍与洛伦茨保持着联系，也在社交活动中见到过他，但她并没有意识到彬彬有礼的洛伦茨已经变得多么出名了。她更没有想到在耋寿之年，自己的名字一下子让许多人知道。

后记

混沌的概念在十九世纪90年代法国数学家昂利·庞加莱 (Henri Poincaré，1854-1912) 的天体力学里开始孕育，到二十世纪60年代从美国气象学家洛伦茨的天气预报中破土而出，再经过过去一个甲子的蓬勃发展，混沌大地“引无数英雄竞折腰”。在这个天地，人们耳熟能详、文献记录在案的著名人物除了上述二人外，还有美国数学家斯提芬·斯梅尔 (Stephen Smale，1930-)、澳大利亚科学家罗伯特·梅 (Robert May，1936-2020)、美国数学家詹姆斯·约克 (James Yorke，1941-)、华人数学家李天岩 (1945-2020)、美国数学物理学家米切尔·费根鲍姆 (Michelle Feigenbaum，1944-2019)、法国数学家伯努瓦·曼德勃罗 (Benoit Mandelbrot，1924-2010) 等。但是，历史或多或少地怠慢甚至遗漏了另外一些人，有的很杰出，有的很普通，但是他们的实际贡献都不应被忘记。好在有的遗憾之处已被人发现并弥补。

1. Joshua Sokol，“The hidden heroines of chaos,” Quanta Magazine，May 20，2019.