一个哲学问题，慢慢演变为科学问题。前路还很远。

撰文 | 徐子龙

数是什么？我们是怎样感知数的？

这好像是一个很简单很天真的问题。但其实，在数学哲学中，这是一个最基础的问题，一直悬而未决。早在古希腊时期，就有先哲提出此问题。

本文试图从生物进化、心理学、神经科学和哲学等多个视角来看看人类是怎样努力探求这个问题的答案的。

聪明的“宝马”汉斯

人能识别数，并做计算。这是人类特有的能力，还是从我们的动物祖先那里通过基因继承到大脑中的一种进化传家宝？

真的只有人类能感知数吗？动物也行吗？

且听一段百年前宝马汉斯的故事。

图1. 数学教师威廉·冯·奥斯腾和他养的马“汉斯”丨来源：wikipedia

1904年，德国数学教师威廉·冯·奥斯腾（Wilhelm von Osten）向柏林的观众介绍了他训练的一匹马，名叫汉斯（Hans），人称 "聪明的汉斯"（图 1）。当冯·奥斯滕在黑板上写下一个算式，比如“2+3”，汉斯会用蹄子准确地敲击五下，然后停下来。而且汉斯还能解决更复杂的算术问题（如图 2）。当时有人怀疑这是马戏团的把戏，十三位著名的专家学者（包括哲学家、心理学家）组成了一个“汉斯委员会”，专门调查此事，但他们最终没有发现任何骗局。

图2. 测试汉斯的数学运算能力丨来源：wikipedia

后来，德国心理学家奥斯卡·丰斯特（Oskar Pfungst，1874-1932）再次调查了汉斯。丰斯特发现，即使不是冯·奥斯滕本人提问，马也能给出正确的答案，这就排除了马主人作弊的可能性。然而，重要的是，只有当提问者知道答案是什么，并且马能看到提问者时，汉斯才会得到正确的答案。如果提问者不知道结果，或者不在马的视线范围内，汉斯就无法答出题目。于是，丰斯特得出结论，汉斯并不是真的会做算术，而是利用提问者无意的身体暗示来答题。在汉斯点蹄时，它会观察到提问者以及围观者的姿势、面部表情或呼吸模式的轻微变化，在正确的时刻停止点蹄。他据此提出了所谓的“汉斯效应”（图3）。

图3. 聪明和不聪明的汉斯。左图：在有很多观众围观的情况下，汉斯可以识别数；右图：在没有观众围观的情况下，提问者又不在马的视线范围内，汉斯就无法完成任务。丨来源：wikipedia

由此可见，汉斯马并没有那么聪明，它并不是真都会做数学计算，而只是通过观察周围人的动作表情来做出反应。从这一点来说我们可以认为动物是有灵性的，但无法证明动物有数的概念。

心理学家丰斯特在文章中写道[1]：

“数在我们人类日常生活中是必不可少的。但是，在我们的祖先成为智人之前，数的感知对他们有什么用呢？动物一开始就会使用数字吗？根据生物进化需要适应环境的原理，显然，只有当数的感知能力对个体有益（或至少无害）时，这种能力才会在种群中世代保持，有时在大的动物分类群中会保存数百万年。”

从生物进化的角度看人类的数字感知

动物为了生存和繁衍，必须采取一定的策略，以确保自己的存活，直到个体性成熟并且可以进行繁殖。对于某些物种来说，还需要呵护后代，以确保它们生存足够长的时间。对于一个个体来说，这首先意味着要找到食物并避免成为食物，还要在杂乱的环境选择合适的道路，并在日常事务中与朋友互相帮助。

对数的感知可以帮助动物实现这些目标。研究表明，对数的感知能力可以增强动物寻找食物、抓取猎物、避免被捕食、在栖息地中导航以及在社会互动中持续生存的能力。

1. 导航

动物经常会使用对地标做计数的办法来寻找适合的路线。例如，蜜蜂依靠地标来测量食物与蜂巢的距离。在某项研究蜜蜂行为的实验中[2]，研究人员放置了四个帐篷，并在第三个和第四个帐篷之间摆放装有糖水的喂食器。蜜蜂会将帐篷认定为地标，并以此为导航依据来寻找食物。如果改变帐篷的数量和帐篷的间距，会影响蜜蜂对距离的判断。蜜蜂究竟是直接记录飞过的绝对距离，还是通过对地标（此处为帐篷）的计数来测量距离，目前仍未弄清。但地标数量仍然是一个重要因素。

2. 捕猎

普通的蜘蛛是独居动物，而以蜘蛛为食的食蛛蜘蛛则是一种社会性动物，有一些个体会相对持久地聚集在一起。肯尼亚有一种名叫Portia africana（以下简称Portia）的食蛛蜘蛛就是这样的，它们所猎捕的小型蜘蛛喜欢在巨石、树干和建筑物的墙壁上建造帐篷状的丝巢[3]。Portia在捕猎时，通常会利用数量线索。以一种很典型的场景为例：两只Portia在一只猎物的巢穴旁定居，当一只Portia捕捉到猎物时，另一只Portia就会加入，并一起进食。Portia怎样决定在哪只猎物蜘蛛的巢穴附近定居呢？依据就是那里已经定居的同伴的数量。它们更喜欢成对捕猎，而不愿意单独捕猎，也不乐于跟两只、三只更多的同伴一起捕猎，因为一个狩猎队的成员越多，一些成员就越可能不合作，导致大群体捕捉猎物的水平往往比小群体更差。

看来，“两个和尚抬水喝，三个和尚没水喝”的道理，不仅人懂，蜘蛛也懂。

3. 避免被捕食

缺少自卫能力的动物经常在社会伙伴的大群体中寻求庇护。通过加入大群体，每个个体成为猎物的概率就会降低。因此，对许多鱼类来说，加入鱼群是主要的反捕食策略。鱼群越大，对鱼类越有利。当单独的一条或几条鱼来到一个不熟悉的、有潜在危险的环境中时，往往会加入其他同种鱼。如果有两个鱼群，它们通常会加入较大的鱼群，这意味着它们能够区分较大的鱼群和较小的鱼群。因此，在关乎生死的情况下，比较同种生物数量的能力可能是至关重要的。

4. 社会领地防御

如果个体无法单独保卫资源，群体和群体规模就很重要了。许多动物生活在社会群体中，共同抵御入侵者。捍卫领地通常意味着可能与敌对群体发生致命冲突，因此，动物需要能够评估自己群体和敌方群体的数量——这种能力显然就具有适应性价值——它是决定进攻还是撤退的基础。对于群体规模的评估显然就是 一种对群体中个体数量的感知。

“人多力量大”，动物也明白这个道理。

数的概念及其认知心理学机制

在人类的日常生活中，数和数字是无处不在的。牙牙学语之时，父母就开始教我们认数，教我们数手指、读数字……那么，数的概念究竟是什么？数在人类心中又是如何表示的？

要回答这些问题，我们需要首先了解数有哪些类型，分别表示什么含义，不同类型之间有什么区别。

第一类数的概念是基数（Cardinal number）。基数表示的是数量，也就是“多少”的概念。基数的基本功能就是计数[4]。

日常生活里的基数实在是太常见了。比如，一个水果篮子里面装有5个芒果，账号上还有12.34元钱。这里的“5”和“12.34”分别是表示有过少芒果和有多少钱，因此是基数。

在数学的集合论中，一个集合里元素的个数就称为该集合的基数。

第二类经常接触到的数的概念是序数（Ordinal number）。序数表示的是实体的顺序关系，或者说排名的前后。比如，玩绝地求生游戏，有幸吃了个“鸡”，也是拿个第1名。这里的1，显然不是表示的数量的多少，而是排名，因此是序数。

第三类数的概念是所谓标签。标签既不表示数量多少，也不表示排名顺序，而仅仅是将数字作为一种标记，以区分不同的物体或对象。最常见的一些例子就是身份证编号、银行账号以及QQ号码等。

数的概念的几种类型其实就是源于人们对于不同经验性质的抽象。

下图完整地表示了上述三种数的概念的结构。

图4. 我们常用三种类型的数字概念来表示三种对应的经验性质[1]

那么，人的心理是怎样表示和处理关于数的信息的呢？

认知心理学中有一个很重要的概念，就是表征（Representation）。表征的意思是外部现实世界在人脑中的心理模型、图示，或者说是人的认知系统对于现实物体的抽象。

举个简单的例子，家里桌上放着一个水杯，我们知道那是一个水杯。上班时看到别人桌上放着一个水杯，虽然跟家里的不一样，但我们也知道那是水杯。又或者是在商店货架上，看见各种各样的水杯，虽然都与家里的那个不一样，但我们也完全知道那是水杯，而不会它们当成是椅子，是鲜花，是猫。当我们闭上眼睛，虽然什么也看不见，但脑海也能呈现出水杯的面貌。本质上说，我们的心里面有一个水杯的概念，这个概念是从现实的具体的物体中抽象出来的。

我们对数的心理表征有两种基本类型：符号性表征和非符号性表征。基数和序数均有这两种表示方式。而标签型数只有符号表征[1]。

符号性表征是指采用符号（比如阿拉伯数字）来表示数的概念[5]。非符号性表征是指不用符号，而是通过涉及实际元素数量的相关图形（如点的阵列）直观地表示数。

非符号性的数的表征是对集合大小的知觉性表征，是实际感知到的元素的个数与所表示的数之间的对应关系。一个典型的表示方法就是使用散落在空间中的若干个元素——比如点阵中的点——来表示对应的数。此时，人可以在瞬间并行地感知到点所表示的数量。

无论是从动物进化，还是人类发展的角度，非符号性数的表征都是一种原始的表征方法。动物有非符号性表征，人类在婴儿时期也有。如果一个人从没学过数的符号（数字），那么他只能采用非符号性表征[1]。

两种数字表征方式如图 5所示。图 5(A)通过圆点的多少表示了两个数量：8和12，而图 5(B)就直接通过符号——阿拉伯数字来表示数量。
 

图 5 .数字的符号表示和非符号表示[6]。(A) 非符号表示；(B) 符号表示

很早以前，就有人研究过婴幼儿对数的认知发展过程。研究者认为[7]，婴幼儿对数的表征先后经历了三个发展阶段。第一个阶段，婴幼儿会记住数的语音模式；第二阶段，记住数的书写模式，并且关联到语音上；第三个阶段称为符号表征阶段，婴幼儿会形成内在的关于数的表征。

还有研究表明，在幼儿早期，数的符号表示技能是影响幼儿数学水平的主要因素。而随着年龄的增长，符号表示技能和非符号表示技能对数学水平的影响呈现下降趋势[6]。

还有一个有意思的问题：人对于数值的感知有自动化的处理过程吗？

研究发现了以下结论：如果以图形呈现数，当数值小于4（也就是1、2、3）时（如图 6），人可以几乎瞬间感知到图形的个数，这个过程叫做估计（subitizing）。

图6. 非符号呈现的数小于4时，可以瞬间估计[6]

但如果数值大于等于4时（如图 7），就无法瞬间估算了，只能一个一个去数，这个数数的过程，就称为计数（counting）。计数的时候，我们可能会读出声音，也可能只会在心中默念。总之，此时，必须通过语言符号来弄清楚有多少个图形。

图7. 非符号呈现的数大于等于4时，无法瞬间估计，只能计数[6]

图8. 非符号表示的数值大小对于感知的反应时和错误率的影响[6]

研究结果（图8）展现了非符号表示的数值大小对于人感知数的影响。图的横轴表示数值大小，左图纵轴表示反应时，右图纵轴表示错误率。从图中，我们能够明显发现，随着数值的增加，反应时增加，错误率也会增加。当数值为1、2、3的时候，两者变化都很小，当数值在4附近的时候，两者的增加幅度非常明显。这可能和人的注意广度有关。

数的概念的神经机制

认知活动的生理基础是神经系统。那么，人类对数的概念的感知，对数的心理表征，是由什么样的神经机制所产生的呢？

为了回答这个问题，认知神经科学研究者采用各种无创技术手段来测量人在数学过程中的神经元活动状况。现在最常用的方法之一是功能磁共振成像（fMRI）。这项技术能够探测到大脑皮层的激活情况，这样研究人员就能观察到人类被试在执行某项认知任务时，大脑的哪部分区域较为活跃。显然，活跃的一个或多个脑区可能跟当前正在发生的认知活动有密切联系。

2003年，法国一个研究小组用fMRI扫描了被试在感知数的时候的大脑活动[8]。扫描影像显示（如图 8所示），有三个脑区的神经元较为活跃，分别是：双侧脑顶内沟的水平部分（bilateral horizontal segment of intraparietal sulcus，红色区域）、顶上小叶后侧（bilateral posterior superior parietal lobe，蓝色区域），以及左侧脑的角回（left angular gyrus，绿色区域）。也就是说，这几个区域都参加了对数的感知这一认知/心理过程。

图 9 . 数感知实验中活跃的大脑区域[8]

从图中，我们还能看出左脑激活的区域相对右脑要多一点。这说明，人类在感知数的概念时，左脑可能比右脑提供了更多的神经资源。

意大利一个研究团队在2004年用另一种思路对数感知的脑区做了研究[9]。他们采用的是经颅磁刺激（transcranial magnetic stimuli, TMS）技术：实验设备能够产生一个磁场，穿过颅骨，干扰特定脑区，抑制其神经元活动，造成“虚拟损伤”。这个过程也是无创的（图10）。

实验人员要求被试做一个简单的数感知任务，同时将磁场发射设备干扰下顶叶（inferior parietal lobule, IPL）区域（相当于图 9中的红色区域），结果发现被试完成任务的准确率下降，反应时间上升。一旦移开设备，被试解决问题的准确率又迅速回升，反应速度也恢复正常。作为对照，实验人员还把设备对准与数感知无关的脑区，果然，这些脑区受干扰并不影响被试完成数感知任务。
 

图 10 . 经颅磁刺激设备及操作 | 图片来源：网络

进一步地，科学家们还研究了我们做加、减、乘、除运算时的脑区激活情况。如此可以帮助我们了解，在做四种不同运算时，认知过程所依赖的神经活动是否有区别[10]。

图 11. 四则运算下的脑区活动状态。自上而下依次是加减乘除。[10]

图 11展示了实验结果。彩色表示在做计算时激活（红黄色）和抑制（蓝绿色）的脑区。从图中可以看出，在做乘法和除法时，激活的脑区远远多于加法减法，也就是说做乘除法需要调用更多的认知资源——换言之，乘除法更难。这个结果完全符合我们的常识。

同时我们还能观察到，在每种运算下，左脑顶内沟（Left IPS）区域都有激活。因此可以认为这一区域参与了每一种运算，是非常重要的与计算相关的脑区。

除了fMRI和TMS，研究脑活动的无创技术还有很多，如脑电图（EEG）、脑磁图（EMG）、近红外等等，用这些技术来研究数的感知、研究数学能力的神经科学文献也是浩如烟海，许多问题都还没有得到确定的、统一的答案，许多结论也是暂时性的。以上所举的研究例子只是挂一漏万，要回答“大脑怎样感知数”，我们还需要做更多的探索。

总  结

我们日常生活中天天都会接触的“数”，到底是本来就存在而被人所发现的，还是人类发明创造的产物呢？

正如《上帝是数学家吗》的作者马里奥·利维奥（Mario Livio）所表达的那样，这个问题长久以来深深困扰着数学家们。

图14 . 《最后的数学问题》（人民邮电出版社2019年9月）

一派坚持实在论，认为数是独立于人的思想而存在的，我们只不过是发现了它们。另一派支持反实在论，坚信数并不独立于我们的感知，是我们发明了它们。

也许这个问题还会在未来相当长时间内继续引起争论。但随着认知心理学、认知神经科学的发展，人们也越来越接近关于数的认知背后的奥秘。

参考文献

[1] Nieder, A brain for numbers: the biology of the number instinct. MIT press, 2019.

[2] L. Chittka and K. Geiger, “Can honey bees count landmarks?,” Animal Behaviour, vol. 49, no. 1, pp. 159–164, 1995, doi: https://doi.org/10.1016/0003-3472(95)80163-4.

[3] X. J. Nelson and R. R. Jackson, “The role of numerical competence in a specialized predatory strategy of an araneophagic spider,” Animal cognition, vol. 15, pp. 699–710, 2012.

[4] https://en.wikipedia.org/wiki/Cardinal_number

[5] https://dictionary.apa.org/symbolic-representation

[6] Y. Li, M. Zhang, Y. Chen, Z. Deng, X. Zhu, and S. Yan, “Children’s Non-symbolic and Symbolic Numerical Representations and Their Associations With Mathematical Ability,” Frontiers in Psychology, vol. 9, 2018.

[7] E. Bialystok, “Symbolic representation of letters and numbers,” Cognitive Development, vol. 7, Art. no. 3, 1992.

[8] S. Dehaene, M. Piazza, P. Pinel, and L. Cohen, “Three Parietal Circuits For Number Processing,” Cognitive Neuropsychology, vol. 20, no. 3-6, pp. 487–506, 2003, doi: 10.1080/02643290244000239.

[9] M. Sandrini, P. M. Rossini, and C. Miniussi, “The differential involvement of inferior parietal lobule in number comparison: a rTMS study,” Neuropsychologia, vol. 42, no. 14, pp. 1902–1909, 2004, doi: https://doi.org/10.1016/j.neuropsychologia.2004.05.005.

[10] M. Rosenberg-Lee, T. T. Chang, C. B. Young, S. Wu, and V. Menon, “Functional dissociations between four basic arithmetic operations in the human posterior parietal cortex: A cytoarchitectonic mapping study,” Neuropsychologia, vol. 49, no. 9, pp. 2592–2608, 2011, doi: https://doi.org/10.1016/j.neuropsychologia.2011.04.035.

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