数学的作用不局限于它是一门知识，更不仅仅是工具，在整个教育过程中，数学对人才的培养具有很重要的作用。哪个学科一旦与数学的某个问题挂钩，往往就能够得到一个飞跃的发展，这方面的例子很多。20世纪80年代，Hauptmann获得诺贝尔化学奖，解决的是如何用X光确定晶体结构的问题。Hauptmann曾经说过：我的化学水平就是在大学念了半年普通化学，其他我不懂。实际上，他解决用X光确定晶体结构的问题主要靠的是数学。数学往往能够对不同的学科起作用，但是，对什么学科起作用，以什么样的方式起作用，并不是人们事先能够预料的。

在这23个问题中有一个问题是：有没有一个方法，能够判断一个整系数的多元多项式组有没有有理数解，或者有没有整数解。按照数学的语言来说，就是能不能有个算法。这个问题引起了一部分数学家的注意，希望有一个明确的回答。但是，经过了30多年，人们逐渐发现这个算法是没有的。在数学里，要证明“有”在某种程度上比较容易，要证明有，你就要给出一个算法，用这个算法就能判断。但是，你要说“没有”，就需要说明什么叫算法。可以说算法是很死的方法，当然这不是严格的数学语言，但人们通常可以理解。如果你要证明这样的东西是不存在的，仅靠这样理解还不行。所以，直到1936年前后，才有数学家给算法下了定义。

科学发展中常常会出现种奇怪的现象，那就是一个问题经过很多年不能解决，但到了某一个时候，同时好几个人以不同的方式解决了这个问题。给算法下定义的问题也是如此。1936年前后，有几个人给出了算法的定义。其中有一种算法的定义，现在叫做Turing机器。Turing机器是个理想的计算机，它已经比较接近现在计算机的设计思想。可以说Turing机的定义，就是后来的计算机设计思想的重要来源。从这里可以看出，一开始提出来的是一个纯数学的问题，根本没想到设计计算机。但是你要解决这个问题就必须给算法下个定义。现在能发生这么大作用的计算机，根源是一个数学问题，而且研究这个数学问题事先根本没想到会产生这么大影响。这个例子说明，从一个纯数学问题出发进行研究，结果不仅解决了数学问题，而且对其他学科产生了重要影响。

又如“群论”。现在搞数学的都知道群是个什么概念。但群的定义的出现，是19世纪50年代的事，最早是从解方程出来的。大家知道解一元二次多项式，它的解是所谓根号，这个问题大约在2000年前人们就知道，大家已在初等数学中学过。这里有一个有趣的过程：要把根通过系数表达出来。二次方程解决了，很容易就会想到三次怎么样，就是一元三次方程有没有类似的公式。差不多到15世纪，三次方程就解出来了，那个公式就非常复杂了。不久解四次方程的公式也出来了。数学家有个癖好，就老想推广，既然二次的公式有了，三次的公式有了，四次的公式也有了，那么五次怎么样?大家就想五次也应该有，可是没想到在五次方程这个问题上遇到了很大的问题，差不多经过了几百年，一直到19世纪开始都没能解决这个问题。19世纪30年代，法国有个叫Galois的年轻数学家，就提出了一个Galois 理论：就是他给出了一个方法，能够判定多少次方程的根能够用系数表达出来。所谓表达出来，就是用加减乘除和开方（不一定开平方）表达出来。这样的话，就提出了群的概念，这个问题最终是用群的方法解决的。开始这个结果被送到法国科学院，科学院里一个很重要的科学家认为是胡说八道，所以就一直没人理睬。一直到19世纪50年代才正式发表出来，这样群的概念就提出来了。Galois的这个结果在20年之后才得到承认。

群的概念纯粹是从一个数学问题提出，但提出之后，首先用来解决的是化合物中晶体究竟有几种的问题。在19世纪末至20世纪初，俄国的化学家就利用群的概念解决了晶体结构有多少种。群的概念实际上是对称性的一个很好的度量，可以解决对称性用什么来度量，也就是它的变换群是什么结构，有多少。这又是一个纯粹从数学里提出的问题，但用处远远超出了数学的例子。数学中这样的例子还可以举出很多。

下面这个例子，说明了实际的需要是怎样促进数学的发展的。第二次世界大战时，德国的空军力量很强，飞机数量多，质量也好。为了解决如何以处于劣势的空军打败德国空军的问题，美国找了一批数学家，冯·诺依曼是其中之一。结果冯·诺依曼通过研究这个问题发现了博弈论。近几十年来，博弈论很重要的一个用途是用来研究经济数学，它已发展成为经济数学不可缺少的基础。

数学研究的对象究竟是什么呢？这个问题很不容易说清楚。

过去说的数学的定义是恩格斯在《自然辩证法》中提出来的，他说数学是研究客观世界的数量关系和空间形式的。恩格斯这个定义是19世纪提出来的，随着20世纪数学的发展，很多东西用这个定义概括不了。说到数量关系，就是说数学是研究数的运算，但随着数学的发展，数学运算的对象远远超出了数。譬如群论，它运算的对象是群元素。甚至还有其他的，可以说它与运算毫无关系，所以，说数学是研究数量关系，就已经不够了。还有被当时理解为客观世界的空间形式，就是通常说的三维空间。但是，几何学研究里已经远远超出了三维，涉及到四维、五维、多维，甚至无数维。所以如果再拿19世纪的定义来概括数学就显得不够。

如何给数学下一个定义呢？到现在为止还没有一个定义令人满意。这也说明数学的定义很难下。比如有人提出来，数学是研究量的，把“数”字去掉，他说有“数”呢，就显得太死了，数就是整数、分数。那么什么叫量呢?所谓量是一个哲学概念。现在有人说数学研究的是秩序，也就是说研究数学的目的是为了给世界以秩序，这种说法不是数学语言。想想也有点道理，但是也说不太清楚。从这里可以看出一条，因为数学的研究对象是抽象的，数学与其他的自然科学和社会科学不一样，这些学科有非常具体的对象，而数学没有。数学之所以既能用到自然科学，又能用到社会科学，甚至人文科学，就是因为它是抽象的。数学研究对象的抽象性首先有一条，就是能够训练人们一种思维方法——抽象思维方法。数学里即使从自然数开始，就已经是非常抽象的概念了，要经过很多层抽象才能够得出数的概念。所以，历史上经过了很长的时间，多数和单数才被人们区分开来。只要研究了数学发展史，就会发现，数的概念的形成是很不容易的。所以，学数学可以训练人的抽象思维能力。 

抽象这种思想方法为什么这么重要呢?因为人们要把握住事物的本质，就必须去掉很多不重要的东西，要舍弃很多非本质的东西，就必须通过抽象的思维方式解决。抽象的思想方法对于研究科学，甚至处理日常生活出现的问题都是重要的。如果没有抽象的能力，就不容易分清究竟现在要解决的是什么问题。这是数学突出的特点，即它的抽象性。数学的抽象性使得数学可以广泛地应用于很多方面，即使是完全不同的方面。

第二个特点，因为数学的抽象性，所以对数学对象的定义必须讲得非常清楚。而其他学科对定义的要求就不太一样，一般可以大概描述一下那是个什么东西，听的人就能够明白。可是数学因为它的对象抽象，描述是不行的，必须有严格的定义。数学里定义非常重要，这一点大家都能体会到。我在教学中就发现，其他系的老师到数学系讲课，往往遇到一个很大的困难。因为经过一段数学学习，学生什么都问定义，比如物理系的教师来讲课，他讲到“力”，学生就要求给“力”下定义，这非常困难。老师很难用几句话把“力”刻画清楚。不像数学里讲“圆”，就是从一点等距离的轨迹，说得很清楚。

化学里很多东西也都可以通过描述大家就能懂，并且很清楚，不需要下定义。数学为什么对定义有这么严格的要求？就因为它的对象抽象，如果不通过定义把它界定清楚，就没法讨论。所以，数学里要求对概念的描述非常准确。我经常开玩笑说，学数学的人是非常笨的，他听的东西，只要那个定义没说清楚，他就听不懂。在这个意义上说，有它的好处，也有它的坏处。坏处就是，什么都要问定义，也会有问题，并不是所有的东西都可以下定义。所以，数学的第二个特点就是它要求对概念非常准确地刻画。

数学课有这么三个特点。通过学习数学，能够获得很好的思维习惯和思维方法，在无形中会对人们起作用。数学与其他学科的关系不光是互相促进，重要的一点是，数学给人的不只是知识，而且是思维方法，数学实际上是文化的一部分。数学是理性和思维的典型，数学的上述三个特点都是关于理性思维的。

数学还是文化的一部分。在中国的传统文化里，理性思维是不太受重视的。有人举例说，文艺复兴以后，西方很多哲学家都喜欢搞哲学体系，这是他们的习惯。这个习惯好还是不好，另当别论。中国就很不相同，中国很重要的典籍《论语》是语录体。里边很多话是警句，把要点指出来，并没有论述，也不需要论述，你一听就有所体会。这就反映了中国的思维习惯。中国传统的数学书有个特点，就是里面都是例子。比如数学里很重要的理论孙子剩余定理，在中国数学书里孙子剩余定理就是告诉你三三数之余几，五五数之余几，七七数之余几，它编了个口诀，根据这个口诀一算，结果就出来了。它既没有证明，也没有形成一个体系，这是中国数学的一个特点，也是中国文化的一个特点。 

数学是文化的一部分，数学中体现的是一种思维的模式，数学学习也是训练人的逻辑思维能力的一种重要方式。过去我们在教学改革中曾经提出，通过上逻辑课直接获得逻辑思维能力，在中学还专门开了形式逻辑课，但最后证明效果很差。关于逻辑思维的一些规律讲了半天学生也听不懂，更不会用。后来才承认人的逻辑思维能力是不能通过上逻辑课来培养的。平面几何最大的好处，是它的内容非常直观，通过平面几何这个载体可以有效地培养人的逻辑思维能力。数学理论逻辑非常严密，人们无法把逻辑从具体内容中抽出来单独讲，这样谁也听不懂，也学不会。通过数学的学习，逻辑思维的能力慢慢就提高了。数学是文化的一部分，通过数学的学习，可以培养人的能力，也可以提高人的素质。

数学知识可以分两种，一种是比较基础的，一定要学通；还有一种属于提高的，这些等到要用的时候再学还来得及。比如十几年前，大家都感到计算机的用途前景广阔，于是就学习计算机语言。计算机语言要学一点，但是后来的经验是，语言学多了也没有用。语言有个特点，学了不用很快就会忘记。还有一点就是计算机技术发展很快，计算机与人的关系越来越近，学起来也很容易。 

概括起来说，数学不只是知识，它同时培养人的能力，提高人的素质。素质说起来就虚一点。有的同志经常说数学是美的享受，这话我就不大懂。你说数学很美，有些时候你是可以说它非常美，但我就不大体会这个美的享受对我有多大作用。数学是美的享受，这话可以说，但不能过分夸。不管怎么说，数学是一门很特殊的科学，它能给人一种无形中的影响。 

记住一位数学家讲过这样一句话：今天数学教育的质量，决定着我们明天科学人才的水平。