切触几何是微分几何的一个分支，它是辛几何的孪生兄弟。它看似怪异的定义却有着极为自然的起源。本文主要介绍什么是切触几何，从其研究中得到的重要定理来了解切触几何的来龙去脉与重要性质——柔性与刚性；它刚柔相济，很像中国传统文化的太极。而我们会看到这一古老的领域的高维探索，在今天才走上快车道。
撰文 | 周正一（中国科学院数学与系统科学研究院）
1912年，58岁的庞加莱（Poincaré），这个被称为“对数学和它的应用具有全面知识的最后一个数学全才”又将视线转回到三体问题——这个他已经研究了二十多年，并为他带来巨大国际声誉的问题。这次他考虑的是平面圆型限制性三体问题：三体中有一体没有质量，而另外两体在万有引力的作用下绕着它们的质心旋转，比如地球、太阳和一颗质量可以忽略不计的人造卫星。庞加莱把卫星的周期轨问题转化成为一个环带面上变换的不动点问题。在一些情况下，他成功地证明了后者的不动点的存在性，并在投稿的信件中说明了他对一般情况的确信。两周以后，这位数学巨人不幸离世，这便是庞加莱最后的几何定理。一年以后，Birkhoff给出了定理的完整证明。由此这个传奇的定理以Poincaré-Birkhoff不动点定理的名字流传于世。
定理 1（Poincaré-Birkhoff不动点定理）
环带面上一个保面积的变换，如果它在两个边界上反向扭转，那么它至少有两个不动点。
圆型限制性三体问题可以说是三体问题中最为简化的一个版本，即便如此，其蕴含的数学也无比丰富，甚至可以说冥冥中为几十年后的辛几何与切触几何（Contact geometry）的发展埋下了伏笔。
01
切触几何——辛几何的孪生兄弟
三体问题是牛顿力学的特例，也可以用哈密顿力学的语言在辛几何的框架里重新描述。所谓辛结构就是切空间上的一个反对称非退化的双线性形式ω，并且局部上等价于(
)中的开集。由于ω的非退化性，给定一个函数H，我们可以通过dH=ω(*, XH)定义哈密顿向量场XH。这类似于通过一个黎曼度量，即切空间上对称的非退化双线性形式，给出函数的梯度向量场。与梯度向量场不同的是，由于 ω 的反对称性，H在XH的积分曲线上是一个常数。举例来说，当n=3时，我们考虑
，那么其对应的哈密顿向量场是
如果我们把(q1, q2, q3)理解为质量为 m 的质点的位置，(p1, p2, p3)为质点的动量，那么XH的积分曲线正是质点在势能场f(q)中的运动，这便是哈密顿力学。此处的哈密顿函数H就是质点的总能量。
如果考虑一个辛流形（即具有辛结构的偶数维流形）中的一个超曲面S，我们可以定义一个哈密顿函数H，使得它在S上取常值，且在法方向上的导数不为0。我们知道XH总是相切于S，事实上，XH的方向不依赖于H的选取而只与S有关，也就是XH的积分曲线/轨道只和 S 有关。在辛流形的所有超曲面中，有一类非常特别的超曲面被称为切触型超曲面。此时，它们具有切触结构（见下文），超曲面上的积分曲线与某一个切触形式的Reeb向量场的积分曲线完全吻合，并且在超曲面附近存在一族超曲面，使得其上的积分曲线完全等同，即稳定性。也就是说，在某些情况下，哈密顿动力学会特化成一个Reeb动力学的问题。从动力学的角度出发，切触几何中最重要的猜想之一就是著名的Weinstein猜想（1978），其断言任何一个紧致无边切触流形的Reeb流上一定有周期轨道（Reeb向量场R由α(R)=1, lRdα=0两个条件唯一确定，其中α是一个切触形式。）它的三维情形由Taubes[1]证明（2007），其证明中构造的工具和方法产生的余波绵延至今，对三维Reeb系统和曲面动力系统产生了深刻的影响。而在一般维度上，虽然Weinstein猜想在许多例子中得到了验证，但离它的最终解决似乎仍在目力之外。
回到三体问题，2010年，Albers、Frauenfelder、van Koert和Paternain[2]合作证明了在圆型限制性三体问题在能量低于或稍高于第一拉格朗日点的能量时，其对应的哈密顿系统是一个切触系统。从限制性三体问题到Poincaré-Birkhoff不动点定理的约化，正是从切触流形Reeb向量场周期轨的问题到一个辛流形叶面上的哈密顿同胚不动点/周期点的问题的约化。也就是从辛几何的哈密顿系统出发，特化成切触系统，继而再约化成更低维度上的哈密顿系统的问题，可见辛几何与切触几何之间的难舍难分。
另一方面Poincaré-Birkhoff不动点定理也是现代辛几何起源的一条主要脉络。上世纪70年代，Arnold将两个环带面粘合，以一个习题的形式猜测二维环面上任何一个哈密顿同胚，在非退化假设下，会有4个不动点。以该问题为代表的一系列整体性问题为现代辛几何的发展埋下了种子。1985年Gromov[3]将拟全纯曲线的整体性方法引入辛几何，随后在80年代末，Floer[4]为了解决Arnold猜想（在更一般辛流形的情况）将Gromov的技术与变分法相结合，为整体辛几何注入了强劲的活力，掀起了延续至今的革命。也正是Arnold的这个问题，让切触几何即将登场的主角有了被世界听见的机会。
关于切触几何，数学家常常会说它是辛几何在奇数维度的类比，是辛几何那有点害羞，甚至有点怪异的孪生兄弟。从动力系统的角度，它们之间紧密的联系从上面已可以窥见。从几何的角度来说，切触流形通过乘上
可以得到一个自然的辛流形（被称作辛化），切触流形常常作为辛流形的边界出现。类似于限制性三体问题和Poincaré-Birkhoff不动点定理的关系，切触流形亦可以看作是一族辛流形的组合。另一方面，辛流形亦自然地出现在切触流形的边界里。
02
切触几何的起源
那到底什么是切触几何，如此的结构又是如何自然地出现的呢？我们可以考虑一阶常微分方程
对于一个一般F，我们应该如何求解这个方程呢？一个自然的思路是首先把dz/dx看作一个独立无关的变量y，首先求解 F(x, y, z) = 0。由于少去了微分关系的约束，这个方程一般会好解得多。几何上，F(x, y, z)=0一般会描述
空间中的一张曲面S。那么如果z=z(x)是微分方程的一个解，则(x, z'(x), z(x))会是曲面S上的一条曲线，并且该曲线的切线投影到(x, z)平面时具有斜率y=z'(x)。也就是说，该曲线经过(x0, y0, z0)的切线需要包含在平面(z-z0)-y0(x-x0)=0中，即dz-y0dx=0这个切平面中。dz-ydx=0这个方程就给中的每一个点p赋予了一个切平面ξp。
这便是一个切触结构，亦称为的标准切触结构。根据上面的讨论，微分方程的解对应到S上的曲线γ(t)，使得γ'(t)∈ξγ(t)。在三维的情形下，这样的曲线被称为勒让德曲线。很明显，这样的讨论可以迁移到高维空间：我们可以考虑一阶偏微分方程
同样的，我们可以首先考虑
中的超曲面S={F(x1,…,xn,y1,…,yn,z)=0}，那么微分方程的解就对应于S中n维曲面C，使得C的切空间是包含在超平面
中。后者便是上的标准切触结构，而这样的曲面C则被称为勒让德子流形。如此，对于一阶微分方程的解，我们便有了如下的几何解释：
的解
⇔F(x1,…,xn,y1,…,yn,z)=0 中的勒让德子流形。
这个观点是由挪威数学家Sophus Lie在1872年提出[5]，他引入了所谓的切触元素和切触变换。切触元素指的是除了记录点的信息之外，我们还需要记录一条经过该点的切线（或等价地说，切空间中的一个超平面，即前面切线的法平面），上面例子中的y就扮演着这样的角色（切线的斜率），所以我们的空间,便是Lie的切触元素的空间。这样的观点可以很自然地迁移到任何流形，从而任何流形的（余）球丛也是一个切触流形。而切触变换就是保持切触结构的变换。很明显，切触变换会把勒让德子流形映到一个勒让德子流形，从而把一个微分方程的解映到另一个微分方程的解。
一个切触流形，也就是把上面的(, ξstd)中开集，通过切触变换的方法给粘连起来的流形。等价地说，一个切触流形，就是一个奇数维的流形，并且在每一点处的切空间中都光滑地选取一个余一维的子空间，使得它局部上和前文的标准切触结构一样。由此可见切触几何是一门侧重整体的几何学。
03
切触几何的柔性
在上面的故事里，切触几何更多地像一个配角、一个背景板，提供一种角度和解释。直到上世纪中叶，切触几何才逐渐从幕后走到台前，慢慢形成一个独立的领域。在这个过程中我们面对的基本问题就是切触结构的存在性问题。在很长的一段时间里，切触流形列表只有下面可怜的几项：
1. 黎曼流形的余球丛/余射影丛，这是Lie的发现；
2. 标准切触球面(S2n-1, ξstd)，其中
，这里我们把S2n-1视作
中单位球面，J是上的复结构；
3. 辛流形的预量子丛（陈类为-ω的S1-丛），它们如今被称为Boothy-王（宪钟）流形（1958），这也是切触流形这个名词被第一次提出。
早在上世纪50年代，陈省身先生就意识到切触结构存在拓扑障碍，即流形的切空间必须能分解成一个平凡线丛和一个具有复结构的向量丛，这被称为近切触结构。而近切触结构的存在性和分类是一个纯拓扑问题，原则上我们可以通过障碍理论来计算这个问题。当然，在具体的例子里，这也是一个非常复杂且困难的问题。
抛开这部分的困难，一个自然的问题的便是：给定一个近切触结构是否存在切触结构代表元？在开流形的情形，这个问题由Gromov给出了圆满的答案并引入了如今被称为同伦原理（h-principle）的重要理念。
定理 2（Gromov，1970[6]）
在同伦意义下，开流形上的切触结构与近切触结构一一对应。
在闭流形的情形，这个问题的答案则要复杂得多。在这方面第一个重要工作便是：
定理 3（Lutz，Martinet，1971[7, 8]）
任何三维流形的任何一个近切触结构都存在切触结构代表元。
这个定理的出发点是，任意一个三维流形都可以通过对S3中的链环做手术得到，即Lickorish–Wallace定理。所谓手术，就是把链环中纽结的一个管状领域——一个实心轮胎——挖出来，再重新缝合进一个新的实心轮胎。由于轮胎表面到其自身有无穷种变换，由此产生的不同缝合方式就产生了不同的流形。我们知道S3上有标准切触结构，所以问题便是手术操作能否维持切触结构？具体而言我们需要回答两个问题：（1）实心轮胎面上是否有切触结构；（2）手术的缝合能否与切触结构相容。
在执行手术前，通过扰动我们可以要求对象纽结会横截地穿过切触平面，比如上图左侧的 z 轴（我们可以把z轴的±∞附近的切触结构粘合起来）。如果把这个首尾相粘的z-轴的小邻域去掉，那么在边界轮胎面上，切触结构和轮胎面的切空间会交出一个斜率很小的切向量，这被称为特征叶状结构——我们可以把它想象成螺丝上的螺纹。那么在缝合的时候，我们需要将由两侧切触结构诱导的螺纹对齐。不过因为缝合方式的不同，从新粘入的实心轮胎一侧看，这个相应的螺纹可能会有完全不同的斜率。也就是说，我们需要一个具有切触结构的实心轮胎，使得其边界上的螺纹具有任意的斜率。在上图左侧的情形（通过一个坐标变换，它等价于前文的标准切触结构）为例，通过增大以z-轴为轴心的半径，我们能实现越来越多的斜率，但始终无法实现所有的斜率，因为沿着径向切触平面只旋转了半圈。与标准切触结构不同的是，上图右侧的切触结构（被称为过度扭转（overtwisted）切触结构），由于切触平面沿着径向不停地旋转，我们的确可以通过选择合适的半径实现所有的斜率。所以，通过在过度扭转切触空间中选取合适的手术配件，我们就可以在任何手术上实现切触结构。
至此，切触几何已经做好了迎接它的英雄的所有准备。只不过对于这位英雄，命运仍要为他设计一些试炼。
Eliashberg于1946年出生于列宁格勒，师从Rokhlin。早在1970年代，Eliashberg就和他的师兄Gromov一起发展同伦原理。1974年，Gromov移民至美国，而Eliashberg被分配至偏远的瑟克特夫卡尔国立大学，并在那里工作到1979年。随后，Eliashberg因为移民签证被拒绝而成为不被苏联政府信任的人，被迫离开数学工作。他从事了各种临时工作，之后在一家公司从事软件开发直至1987年。早在1979 年，Eliashberg就解决了前文中的Arnold猜想在环面以及其他曲面的情形，他拜托移民美国的Katok将其论文带到美国，这在当时是不被允许的。不幸的是，这个论文的第一版有错误，而修正的版本也被搞混而没有及时被更多人看到。1983年，Conley-Zehnder证明了任意偶数维环面的Arnold猜想，而Eliashberg关于曲面的证明却因为种种原因仍未能发表。在一次访谈中，Eliashberg把前者比作他的世界里的一颗炸弹。不过，他在Arnold猜想上的工作，以及在辛刚性上的进展最终得到了国际数学界的认可，并受邀在1986年的国际数学家大会上作报告。可惜最终未能成行，只能由Mather代为汇报他的工作。在被迫离开数学界的几年里，Eliashberg因为各种限制未能发表什么论文，不过切触几何已经迎来了飞跃式的发展，虽然当时人们并没意识到。1988 年，Eliashberg来到美国，世界终于可以听到他的声音。
先回到刚才的提到的手术描述，如有要求手术缝合进一个足够粗的实心轮胎，我们能在手术后的切触流形中找到一个如下的圆盘——过度扭转圆盘（overtwisted disk）。
Eliashberg把能够找到这样圆盘的三维切触流形称为过度扭转切触流形，并通过证明相应的同伦原理证明了如下的里程碑结果，这揭示了Lutz-Martinet定理（任何三维流形的任何一个近切触结构都存在切触结构代表元）中隐藏的更为深刻的结构。
定理 4（Eliashberg，1989[9]）
在同伦意义下，三维流形上的过度扭转切触结构与近切触结构一一对应。
这般的存在性或者是构造性的性质，往往被称为是切触几何的柔性。除了过度扭转切触结构的同伦原理，切触几何中典型的柔性定理还包括：Giroux的切触开书分解[10]，即将三维切触流形看作一族带边辛曲面的组合（如下图），例如限制性三体问题和Poincaré-Birkhoff不动点定理的关系，以及用于分解切触流形的凸曲面理论（也是由盲人数学家Giroux开创）等。这些结果都在三维切触几何的发展中起到了举足轻重的作用。
开书分解将切触流形分解成一族带有公共边界的辛流形的组合，形如一本打开的书本。
上述柔性定理的高维版本的出现则要晚得多，尽管人们对它们的探索从未停止过。以高维过度扭转为例，通过类比三维的情形，虽然我们早有几个备选定义，并也很快证明了过度扭转流形应该具备的刚性性质（见下文），但具有同伦原理的定义直到2014年才由Borman、Eliashberg和Murphy[11]给出。随后，与之前备选定义的等价性也很快被建立起来。而对于开书分解，虽然高维版本的切触开书存在性已早为人知，但完整的Giroux对应的证明直到2023年才出现在Breen、Honda和Huang[12]的一个预印本中。最后高维凸曲面的存在性也直到2019年才被Honda和Huang[13]建立。
04
切触几何的刚性
关于存在性的基本问题解决之后，接下来自然便是切触结构的分类问题。切触几何的柔性构造给了列举切触结构的一种可能，但仅有柔性，切触几何只能跛足前行，我们还需要有效的不变量来区分切触结构，从而回答分类问题。这些不变量，尤其是超越拓扑不变量——即近切触结构——的不变量，就是所谓的切触几何的刚性。这方面的一个基本结果是：
定理 5（Bennequin，1983[14]）
(S3, ξstd)不切触同构于过度扭转切触球面。
这个定理的原始证明是通过研究其中扭结的性质得到的。1985年，Gromov开创性地将拟全纯曲线的技术引入到辛几何中，给辛几何带来了一场延续至今的革新。Eliashberg把这种方法引入到切触几何的研究中去，并证明了过度扭转切触流形是不存在辛填充的。从而由于(S3, ξstd)具有
中的单位球体作为辛填充，我们得到了Bennequin定理的现代证明。我们把不是过度扭转的切触流形被称为紧（tight）切触流形。由于过度扭转的特殊性，切触几何的基本二分法就是：
过度扭转 v.s. 紧。
一般我们会认为紧切触流形的世界是由刚性，或更进一步，由拟全纯曲线所统治。Eliashberg在1991年证明了S3上除去过度扭转的切触结构，就只存在标准的切触结构，也就是唯一的紧的切触结构。而在高维，我们不再有这样简单的分类；事实上，在任何高于3维的奇数维标准球面的标准近切触结构上，我们都有无穷个不同的紧切触结构。而它们的区分就需要用到下面的刚性不变量了。
1993年，Hofer[15]通过研究切触流形的辛化中的某类伪全纯曲线的存在性，得到了三维过度扭转切触流形的Weinstein猜想的证明。比起这个证明影响更深远的是，Hofer 引入了如今被称为Hofer能量的概念，而我们需要研究的正是具有有限Hofer能量的拟全纯曲线，它们具有良好的渐进性质和紧化性质等等。正是这些准备和铺垫，在2000年，Eliashberg、Givental 和 Hofer[16]提出了一个研究切触几何和辛几何的庞大框架，即所谓的辛场论。
具体而言，通过计数切触流形的辛化，以及辛配边中的带孔拟全纯曲线，定义一个从辛配边范畴到一个代数范畴的函子；也就是给每一个切触流形赋予一个代数对象，给每一个辛配边赋予一个代数对象间的态射。这个代数对象以及其上的各种代数不变量自然地成为了切触流形的不变量。辛场论就像一本字典一样可以把几何问题翻译成代数问题。之前提到的无穷个高维切触球面也是通过辛场论，或相关理论的不变量得到区分。不过无论是代数上，还是分析上，辛场论都不是一个简单的对象，它的基础与应用还在快速的发展中。直到2016年，辛场论里最简单的版本，即切触同调，才分别由Pardon以文[17]及Bao和Honda[18]分别给出完整的定义，他们的文章分别在2019年和2023年正式发表。不过随着虚拟技术（virtual technique) 日新月异的发展，以及我们对辛场论结构、应用和计算的认识加深，相信辛场论的发展会在不久的未来驶入快车道。辛场论之外，我们还有如层论、Heegaard-Floer理论，以及最新的高维Heegaard-Floer理论等在内的刚性理论。它们或直接或间接地与拟全纯曲线理论紧密联系，也都经历着快速的发展。
05
结语
Eliashberg在2015年的综述文章“Recent advances in symplectic flexibility”中[19]提出了“holomorphic curves or nothing”的原则：即在切触几何和辛几何中的结构或现象，要么被同伦原理统治而存在，要么为拟全纯曲线所阻碍。这样的信念虽然并非一个严格陈述且数学上可验证的命题，但足以传递切触几何中最核心的两个主题——柔性和刚性。尽管柔性和刚性在任何一种几何学中都有不同程度的体现，但在这刚柔光谱之中，这两种现象之间往往有着巨大的中间地带。然而在切触几何中，似乎这两极之间有着更为明晰的边界。柔性和刚性的对立构成了切触几何的基本现象，而它们的合作则是切触几何的核心工具。虽然我们对切触几何，尤其是高维切触几何的了解还非常有限，但身处这个时间点，无疑是最好的时代，因为高维切触几何已经完成了双足站立，它正要迈向光明的未来。
参考文献
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[18] Bao, E., Honda, K., Semi-global Kuranishi charts and the definition of contact homology. Adv. Math. 414, Article ID 108864, 148 p. (2023).
[19] Eliashberg, Y., Recent advances in symplectic flexibility. Bull. Am. Math. Soc., New Ser. 52, No. 1, 1-26 (2015).
（编者注：作者为本文起的原标题为“Making Contact with Contact Geometry”。）
出品：科普中国
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