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本文系《美国数学学会通讯》原副主编Allyn Jackson于1998年对陈省身先生的采访。陈先生主要谈到了他的求学经历和他重要的研究工作。

撰文 | Allyn Jackson

翻译 | 陈亦飞

校对 | 许劲松

陈省身获得过众多国际荣誉,包括6个荣誉博士学位,美国国家科学奖章,以色列的Wolf奖,以及世界各地科学院院士称号

原编者注:这篇文章基于1998年3月4日Allyn Jackson对陈省身的访谈,数学部分得到了Dieter Kotschick的帮助。(本文加框部分非Jackson的提问,而是她为上下文的连贯加入的背景说明文。)

陈省身是最伟大的健在的几何学家之一(编者注:陈省身先生于2004年去世)。1911年10月28日,他出生于中国嘉兴。他的父亲取得法律学位,并为政府工作,陈省身幼年,正是中国开始创办西式的大学学院之时。他未满15岁便进了南开大学学习,并且被物理学所吸引,只是当他发现自己从事实验工作并不太顺手时,最终改为主修数学。1930年他进入到清华大学研究生院,在那里有许多已在西方国家获得了博士学位的数学家。其中有曾经是芝加哥大学 E.P.Lane(莱恩)教授的学生的Guangyuan Sun(Dan Sun,即孙光远)。大约20年后,陈先生成了芝加哥大学Lane教授的继任者。1932年,德国汉堡大学的数学家Wilhelm Blaschke(布拉施克)访问清华大学时,他的讲演给了陈先生巨大影响。

Jackson(以下简写为“J”):您在中国的学习之后,就决定到西方来念博士了。

陈省身(以下简写为“陈”):我是1934年获得由清华大学提供的奖学金来西方深造的,我那时已经在清华做了一年助教,并在研究生院学习了3年。我觉得对我来说去欧洲比去美国更合适。通常的情况是来美国,但是我对普林斯顿大学或哈佛大学并不感兴趣。

J:为什么不呢?

陈:感觉是不太适合我的情况。我想成为一个几何学家。美国当时没有我想从事的几何研究种类,所以我去了欧洲。那时,尽管我是初出茅庐的学生,但是我有自己的长处,对于我想研究的、对于国际上的数学状况、以及谁是最好的数学家、什么地方是最出色的研究中心,我都有自己的想法。我的评估可能不对,但是我有自己的思想。我决定去汉堡。事实上,这是一个非常好的选择。19世纪末期科学,包括数学的中心在德国。而德国的数学中心是在哥廷根,还差不多的柏林和慕尼黑。当然,巴黎始终是一个数学中心。

我于1934年从清华大学毕业。1933年希特勒在德国夺取政权后,在德国大学开展大规模的运动。犹太教授被清洗,哥廷根从此崩塌。汉堡成了非常好的地方。汉堡大学是第一次世界大战以后新建立的大学。它当时并不是顶尖大学,但是它的数学系很出色。于是,我在正确的时间去了那儿。

就是在汉堡,陈先生首次接触了Elie Cartan(嘉当)的研究工作,这对陈先生的数学研究方法产生了深刻影响。那时的Erich Kähler(凯勒),汉堡大学的一名编外讲师(Privatdozent),是Cartan思想的主要支持者之一。Kähler刚写了一本书,书中的主要定理就是如今闻名的Cartan-Kähler定理。Kähler在汉堡大学组织了研讨班,研讨班的第一天,所有的教授如Blaschke,Emil Artin(阿廷),Erich Hecke(赫克)等都参加了。

陈:[研讨班]看上去就像庆祝会。教室里挤满了人,书也刚刚面世。Kähler拿了一大堆书走了进来,每人分发一本。但是这个专题太难了,因此研讨班进行了几次以后,就没有人参加了。我认为我是本质上坚持到最后的唯一一人。我认为我能坚持到最后是因为我能跟上这个专题。不仅是那样,我当时正在写一篇有关应用其方法到另一个问题的毕业论文(thesis)。因此研讨班对我来说具有很重要的意义。我甚至在研讨班结束后去找Kähler先生。有很多次我们共进午餐。研究所附近有一个餐馆,我们一边吃饭一边谈论各种各样的事情。我的德语水平有限,而那时Kähler先生不讲英语。不管怎么说,我们相处得很好。因此,一个结果是,我很快地完成了我的毕业论文。

大家都知道Elie Cartan是最伟大的微分几何学家。但是他的文章非常难懂。其中一个原因是,他用所谓的外微分。而在我们微分几何课题中,其中你谈到了关于流形,一个困难是这种几何是用坐标来描述的,但是坐标没有意义。它们是允许进行变换的。并且为了处理这种情况,一个重要的工具是所谓张量分析或Ricci(里奇)演算(calculus),当时对数学家来说是新的。在数学中你有一个函数,你要写下这个函数,你计算,或加,或乘,或你能微分。你有非常具体的东西。在几何中,几何位置是用数(坐标)描述的。但是你能任意选择你的数(坐标)。所以为了处理这种情况,你需要Ricci演算。

陈省身获得3年的奖学金资助,但是他仅花了两年的时间完成了他的学位。第3年,Blaschke安排他去巴黎和Cartan一起工作。陈先生不太懂法语而 Cartan只说法语。在他们第一次会面时,Cartan就给陈先生出了两个问题。过了一段时间,他们恰巧在Poincaré(庞加莱)研究所的楼梯上遇见,陈省身告诉Cartan他还未能解出那两个问题。Cartan让陈先生到他的办公室来一起讨论。从那时起,陈先生就定期在Cartan的办公时间(office hours)访问他,但Cartan的办公室却被众多慕名这位著名数学家的求见者挤满了。几个月后,Cartan邀请陈先生到他家里见面。

陈:通常在与Cartan会面后,我总能收到他的一封来信。他说:“自你离开后,我对你的问题做了更进一步的思考……”他会得出一些结果,和更多的问题,等等。他熟知所有的有关单李群、李代数的论文,而且烂熟于心。当你在街上遇见他,那时你会突然想问他问题,他总会抽出某个旧信封,写上些什么,给你一个答案。这些问题有时花费我数小时甚至几天的时间才能得到相同的答案。我大概每隔两周和他碰面一次,很显然,我必须非常努力地工作。这样持续了一年,直到1937年,我回到了中国。

当陈省身返回中国后,他成了清华大学数学系教授。但抗日战争限制了他与国外数学家的联系。他写信给Cartan说明了他的处境,Cartan寄了一箱他的重印本文章给陈先生,还包括一些以前的论文。陈先生花了大量的时间阅读和思考它们。尽管与外界隔离了,但是陈先生继续发表论文,他的论文引起了国际上的关注。1943年他收到了来自Oswald Veblen(维布伦)教授访问普林斯顿大学高等研究院的邀请。由于战争的原因,陈先生花了一个星期才乘军用飞机抵达美国。在高等研究院的两年期间,陈先生完成了他的推广的Gauss-Bonnet(高斯-博内)定理的证明,这把任意维闭Riemann(黎曼)流形的Euler(欧拉)示性数表示为曲率在整个流形上的积分。该定理将局部几何与全局拓扑不变量结合起来,代表了陈先生的大部分工作中的深层主题。

J:您认为什么是您最重要的数学研究工作?

陈:我想是纤维空间的微分几何。你会看到,数学正走向两个不同的方向。一个方何是一般理论。例如每个人都必须学习点集拓扑学,学习一些代数学,由此打下一般的基础,那几乎覆盖整个数学的基本理论。然而也有一些课题是专门的,而它们在数学的应用上却起着重要的作用。这些东西你必须相当了解,例如一般线性群、甚至酉群。它们到处出现,无论你是研究物理还是研究数论。因此,数学中有一般理论,其中包含某些美妙的东西。纤维空间便是其中之一。你拥有一个空间,其纤维是相当简单的古典空间,但它们以某种方式组合在一起。这是一个非常基本的概念。现在,在纤维空间中,联络的概念变得很重要。这就是我的工作所在。通常最好的数学工作将一些理论与一些非常特殊的问题结合起来。特殊问题促使一般理论的发展。我用这个想法给出了Gauss-Bonnet公式的第一个证明。

Gauss-Bonnet公式不但在微分几何,而且在整个数学领域中是最重要最基础的公式之一。在我(1943年)来普林斯顿之前,我就已经考虑过它,因此从某种意义上讲,我在普林斯顿的发展是十分自然的。到普林斯顿后,我见到André Weil(韦伊)。他和Allendoerfer(艾伦多弗) 刚发表了他们的论文。Weil和我很快成了朋友,所以我们自然地讨论了Gauss-Bonnet公式。之后我证明了它。我想这是我最好的工作之一,因为它解决了一个重要而基本的经典问题,并且想法十分新颖。为了让你实现这些想法,你需要有一些技术上的聪明手段。这不是轻而易举的,也不是只要你有想法就可以实行的。这很微妙,所以我认为这是件非常好的工作。

J:您另外一项重要的工作是对示性类的发展。

陈:示性类——它们并不那么令人印象深刻。示性类是非常重要的,因为这些是纤维空间基本的不变量。纤维空间是非常重要的,所以示性类产生了。不过这没伤我多少脑筋。它们经常出现,包括一阶陈示性类c1,因为在电磁学中你需要复线丛的概念。而复线丛引出c1,这在Dirac(狄拉克)关于量子电动力学的论文中就出现过。当然Dirac 并没有称之为c1。当c1不为零时,它与所谓的单极(monopole)有关。示性类是重要的,因为它们自然而然地出现在一些具体而基础的问题中。

J:当您在20世纪40年代首先发展陈类理论时,您是否意识到Pontryagin (庞特里亚金)的工作以及这样的事实:一个实纤维丛的Pontryagin类可以从其复化的陈类重新得到?

陈:我的主要想法是,人们应该在复数情形下做拓扑和整体几何的研究。复数情形有更多的结构,而且在许多方面要比实数的情形更简单。因此我引进复情形下的陈类。我读过Pontryagin的论文,但实数情形要复杂得多。我没有念过他的全文,不过我想他在英语版的 Doklady 杂志上发表了摘要。我是从Hirzebruch(希策布鲁赫)处得知陈类和Pontryagin类之间的关系的。

陈类可以用局部不变量曲率表达。我主要对局部性质与整体性质之间的关系感兴趣。当你研究空间的时候,你所能测量到的是局部性质。重要的是,一些局部性质与整体性质是相关联的。Gauss-Bonnet公式的最简单情形是,三角形的内角和是180度。它出现在非常简单的事实中。

J:您被视为整体微分几何的主要倡导者之一。与Cartan一样,您喜欢使用微分形式和联络等工具。而德国学派,如作为代表的P. A. Klingenberg(克林根贝格),却以不同的方法研究整体几何。他们不喜欢用微分形式,他们用测地线和比较定理等手段来证明。您是怎样看待这种差异的呢?

陈:没有什么本质的差异。这是历史的发展。例如,为了研究流形上的几何,标准的技巧是Ricci演算。基本的问题是形式问题(form problem),这是由Lipschitz(利普希茨)和Christoffel(克里斯托费尔),尤其是后者解决的。而Christoffel的想法又追溯到Ricci,Ricci写了关于Ricci演算的著作。所以所有的人,包括Hermann Weyl(外尔),都是通过Ricci演算来学习数学的。张量分析起着如此重要的作用,于是大家都要学会它。大家在微分几何方面都是从张量分析开始的。但是在某些方面,微分形式应该引入。我通常喜欢说,向量场就像一个男人,而微分形式就像一个女人。社会必须由两性构成。如果单有其一是不完整的。

1943年-1945年,在普林斯顿研究所访问两年后,陈先生返回中国待了两年,其间,他帮助建立了中央研究院数学研究。1949年他成了芝加哥大学的一名数学教授。1960年,他到加州大学伯克利分校任教。1979年先生退休后依然很活跃,尤其是帮助创建了伯克利的美国国家数学研究所(Mathematical Sciences Research Institute)。1981年-1984年,陈先生出任首任所长。陈省身已培养了41位博士。这个数字还不包括他在频繁的访华中已有联系来往的许多学生。陈省身做了许多事情,以帮助恢复中国数学研究的传统。特别是1985年先生对中国天津南开数学研究所的创建起到了重要作用。

J:您多长时间回中国一次?

陈:近年来我每年都要回中国。通常呆上一个月或更长的时间。我在南开创办了数学研究所,最重要的是拥有了一批扎根中国的优秀年轻人。这方面我们已获得了成功。我们新的研究人员包括龙以明(动力系统),陈永川(离散数学),张伟平(指标理论),方复全(微分拓扑)。还有一些其他非常优秀的年轻人。我认为在中国数学发展主要困难是报酬太低。顺便说一下,国际数学联盟已将下一届国际数学家大会选定在北京举行。

J:您认为中国在数学方面会有极大的提高吗?

陈:嗯,是的。我所担忧的,倒是中国将会有过多的数学家。

J:中国是一个大国,可能他们需要大量的数学家。

陈:我认为他们不需要太多的数学家。中国是一个大国,自然有许多人才,特别是在一些小地方。举个例子,在国际中学生奥林匹克数学竞赛中,中国学生通常表现十分出色。为了在这样的竞赛中有所成就,学生们需要训练,这导致学生们忽略了其它课程。目前在中国,父母们想让他们的孩子学英语,做生意,赚更多的钱。而这些竞赛是不给钱的。我想,如果哪一年这种培训方面他们投入得少了,中国队的成绩就可能立刻下跌。你能对一个拥有12亿人口的国家做什么?这意味着生活水平不会很高,如果你有任何社会正义。

1934年当陈先生选择去德国攻读研究生时,在美国,几何学还只是一个边缘学科;到1979年他退休时,几何学已经成为美国数学界最具活力的专业方向之一。这种变化多半归功于陈省身。然而,陈省身对他的成就却极为谦虚。

陈:我不认为我高瞻远瞩。我只是在做一些小问题。数学中涌现出许多概念和新思想,你只是提出一些问题,然后尽力得到简单的答案,并期望给出简单的证明。

J:您是通过观察产生想法的吗?

陈:对,在大多数情况下,你什么想法也没有。而在许多情况下,你的想法也行不通。

J:您把自己描述为一个解题者,而不是理论创立者?

陈:我认为这种差异是很小的。每一个好的数学家都应该是一个解题者。不然的话,你仅有模糊的想法,如何能做出杰出的贡献?你解决了某些问题,你使用了某些概念,你可能需要等待才能看到数学贡献中的优点。你只能在将来才能看到。

要评估一个数学家或数学的某个方面是很困难的。如可微性的概念。二三十年以前,许多人不喜欢可微性。许多人对我说:“我对任何带有可微性概念的学一概不感兴趣。”这些人想使数学变得简单。如果拒绝接纳涉及到可微性的概念,你就排除了许多数学。这就不够了,Newton (牛顿)、Leibniz (莱布尼茨) 应该发挥其作用。不过这是有趣的,因为在数学中有许多有争议的想法。

J:您可以举几个数学中有争议想法的例子吗?

陈:一件事是当今一些论文太长了。如“有限单群”的分类。谁会愿意去念1000多页的证明?或还有四色问题的证明。我想人们必须使数学有趣些。

我认为数学不会很快消亡。在一段时间里它到处存在,因为它还有许多美妙的事情要做。我不相信可以由一群人来做数学。基本上这是一种个人行为。从而也容易开展。数学不需要太多的设备,它不像其它科学。它们比起数学来需要更多的物质设备。所以数学可以持续一段时间。我不知道人类文明能持续多长时间。比起数学来,那是一个大得多的问题。但是就数学本身,我们还要与它相处一段时间。

86岁高龄的陈先生还在继续从事数学的研究。近年来他对Finsler(芬斯勒)几何尤感兴趣。两年前他曾在本刊上讨论过这一点(“Finsler“几何就是无二次型限制的Riemann几何”,1996年9月,959-963页)。

陈:Finsler几何比起Riemann几何要来得广泛得多,而且能用优雅的方法进行处理。它将是大学未来10年微分几何基本课程里的内容。

在数学上我没有什么困难,所以当我做数学时,我是在享受它。因此,我一直在做数学研究,另一方面是因为其他事情我做不了。我已经退休多年了,还有人问我是否仍在研究数学。我想我的答复是:这是我唯一能做的一件事,其他的事我也做不了。我一生都是这样。

译注:在本文中还夹插着Allyn Jackson的一篇短文,题为“湾区荣耀:以陈省身命名的荣誉教授头衔”。

本文转载自微信公众号“数学大院”,原文载于《数学译林》(2018年第4期)。文章译自Notices of the AMS, Vol. 45(1998), No.7,p.860-865, Interview with Shing ShenAll rightsChern, Allyn Jackson, figure number 8. Allyn Jackson 是《美国数学会通讯》(Notices of the AMS)的资深作家和副主编。

 

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