撰文 | Allyn Jackson

翻译 | 陈亦飞

校对 | 许劲松

陈省身获得过众多国际荣誉，包括6个荣誉博士学位，美国国家科学奖章，以色列的Wolf奖，以及世界各地科学院院士称号

原编者注：这篇文章基于1998年3月4日Allyn Jackson对陈省身的访谈，数学部分得到了Dieter Kotschick的帮助。（本文加框部分非Jackson的提问，而是她为上下文的连贯加入的背景说明文。）

Jackson（以下简写为“J”）：您在中国的学习之后，就决定到西方来念博士了。

陈省身（以下简写为“陈”）：我是1934年获得由清华大学提供的奖学金来西方深造的，我那时已经在清华做了一年助教，并在研究生院学习了3年。我觉得对我来说去欧洲比去美国更合适。通常的情况是来美国，但是我对普林斯顿大学或哈佛大学并不感兴趣。

J：为什么不呢？

陈：感觉是不太适合我的情况。我想成为一个几何学家。美国当时没有我想从事的几何研究种类，所以我去了欧洲。那时，尽管我是初出茅庐的学生，但是我有自己的长处，对于我想研究的、对于国际上的数学状况、以及谁是最好的数学家、什么地方是最出色的研究中心，我都有自己的想法。我的评估可能不对，但是我有自己的思想。我决定去汉堡。事实上，这是一个非常好的选择。19世纪末期科学，包括数学的中心在德国。而德国的数学中心是在哥廷根，还差不多的柏林和慕尼黑。当然，巴黎始终是一个数学中心。

我于1934年从清华大学毕业。1933年希特勒在德国夺取政权后，在德国大学开展大规模的运动。犹太教授被清洗，哥廷根从此崩塌。汉堡成了非常好的地方。汉堡大学是第一次世界大战以后新建立的大学。它当时并不是顶尖大学，但是它的数学系很出色。于是，我在正确的时间去了那儿。

大家都知道Elie Cartan是最伟大的微分几何学家。但是他的文章非常难懂。其中一个原因是，他用所谓的外微分。而在我们微分几何课题中，其中你谈到了关于流形，一个困难是这种几何是用坐标来描述的，但是坐标没有意义。它们是允许进行变换的。并且为了处理这种情况，一个重要的工具是所谓张量分析或Ricci（里奇）演算（calculus），当时对数学家来说是新的。在数学中你有一个函数，你要写下这个函数，你计算，或加，或乘，或你能微分。你有非常具体的东西。在几何中，几何位置是用数（坐标）描述的。但是你能任意选择你的数（坐标）。所以为了处理这种情况，你需要Ricci演算。

陈：通常在与Cartan会面后，我总能收到他的一封来信。他说：“自你离开后，我对你的问题做了更进一步的思考……”他会得出一些结果，和更多的问题，等等。他熟知所有的有关单李群、李代数的论文，而且烂熟于心。当你在街上遇见他，那时你会突然想问他问题，他总会抽出某个旧信封，写上些什么，给你一个答案。这些问题有时花费我数小时甚至几天的时间才能得到相同的答案。我大概每隔两周和他碰面一次，很显然，我必须非常努力地工作。这样持续了一年，直到1937年，我回到了中国。

J：您认为什么是您最重要的数学研究工作？

陈：我想是纤维空间的微分几何。你会看到，数学正走向两个不同的方向。一个方何是一般理论。例如每个人都必须学习点集拓扑学，学习一些代数学，由此打下一般的基础，那几乎覆盖整个数学的基本理论。然而也有一些课题是专门的，而它们在数学的应用上却起着重要的作用。这些东西你必须相当了解，例如一般线性群、甚至酉群。它们到处出现，无论你是研究物理还是研究数论。因此，数学中有一般理论，其中包含某些美妙的东西。纤维空间便是其中之一。你拥有一个空间，其纤维是相当简单的古典空间，但它们以某种方式组合在一起。这是一个非常基本的概念。现在，在纤维空间中，联络的概念变得很重要。这就是我的工作所在。通常最好的数学工作将一些理论与一些非常特殊的问题结合起来。特殊问题促使一般理论的发展。我用这个想法给出了Gauss-Bonnet公式的第一个证明。

Gauss-Bonnet公式不但在微分几何，而且在整个数学领域中是最重要最基础的公式之一。在我（1943年）来普林斯顿之前，我就已经考虑过它，因此从某种意义上讲，我在普林斯顿的发展是十分自然的。到普林斯顿后，我见到André Weil（韦伊）。他和Allendoerfer（艾伦多弗) 刚发表了他们的论文。Weil和我很快成了朋友，所以我们自然地讨论了Gauss-Bonnet公式。之后我证明了它。我想这是我最好的工作之一，因为它解决了一个重要而基本的经典问题，并且想法十分新颖。为了让你实现这些想法，你需要有一些技术上的聪明手段。这不是轻而易举的，也不是只要你有想法就可以实行的。这很微妙，所以我认为这是件非常好的工作。

J：您另外一项重要的工作是对示性类的发展。

陈：示性类——它们并不那么令人印象深刻。示性类是非常重要的，因为这些是纤维空间基本的不变量。纤维空间是非常重要的，所以示性类产生了。不过这没伤我多少脑筋。它们经常出现，包括一阶陈示性类c1，因为在电磁学中你需要复线丛的概念。而复线丛引出c1，这在Dirac（狄拉克）关于量子电动力学的论文中就出现过。当然Dirac 并没有称之为c1。当c1不为零时，它与所谓的单极（monopole）有关。示性类是重要的，因为它们自然而然地出现在一些具体而基础的问题中。

J：当您在20世纪40年代首先发展陈类理论时，您是否意识到Pontryagin （庞特里亚金）的工作以及这样的事实：一个实纤维丛的Pontryagin类可以从其复化的陈类重新得到？

陈：我的主要想法是，人们应该在复数情形下做拓扑和整体几何的研究。复数情形有更多的结构，而且在许多方面要比实数的情形更简单。因此我引进复情形下的陈类。我读过Pontryagin的论文，但实数情形要复杂得多。我没有念过他的全文，不过我想他在英语版的 Doklady 杂志上发表了摘要。我是从Hirzebruch（希策布鲁赫）处得知陈类和Pontryagin类之间的关系的。

陈类可以用局部不变量曲率表达。我主要对局部性质与整体性质之间的关系感兴趣。当你研究空间的时候，你所能测量到的是局部性质。重要的是，一些局部性质与整体性质是相关联的。Gauss-Bonnet公式的最简单情形是，三角形的内角和是180度。它出现在非常简单的事实中。

J：您被视为整体微分几何的主要倡导者之一。与Cartan一样，您喜欢使用微分形式和联络等工具。而德国学派，如作为代表的P. A. Klingenberg（克林根贝格），却以不同的方法研究整体几何。他们不喜欢用微分形式，他们用测地线和比较定理等手段来证明。您是怎样看待这种差异的呢？

陈：没有什么本质的差异。这是历史的发展。例如，为了研究流形上的几何，标准的技巧是Ricci演算。基本的问题是形式问题（form problem），这是由Lipschitz（利普希茨）和Christoffel（克里斯托费尔），尤其是后者解决的。而Christoffel的想法又追溯到Ricci，Ricci写了关于Ricci演算的著作。所以所有的人，包括Hermann Weyl（外尔），都是通过Ricci演算来学习数学的。张量分析起着如此重要的作用，于是大家都要学会它。大家在微分几何方面都是从张量分析开始的。但是在某些方面，微分形式应该引入。我通常喜欢说，向量场就像一个男人，而微分形式就像一个女人。社会必须由两性构成。如果单有其一是不完整的。

J：您多长时间回中国一次？

陈：近年来我每年都要回中国。通常呆上一个月或更长的时间。我在南开创办了数学研究所，最重要的是拥有了一批扎根中国的优秀年轻人。这方面我们已获得了成功。我们新的研究人员包括龙以明（动力系统），陈永川（离散数学），张伟平（指标理论），方复全（微分拓扑）。还有一些其他非常优秀的年轻人。我认为在中国数学发展主要困难是报酬太低。顺便说一下，国际数学联盟已将下一届国际数学家大会选定在北京举行。

J：您认为中国在数学方面会有极大的提高吗？

陈：嗯，是的。我所担忧的，倒是中国将会有过多的数学家。

J：中国是一个大国，可能他们需要大量的数学家。

陈：我认为他们不需要太多的数学家。中国是一个大国，自然有许多人才，特别是在一些小地方。举个例子，在国际中学生奥林匹克数学竞赛中，中国学生通常表现十分出色。为了在这样的竞赛中有所成就，学生们需要训练，这导致学生们忽略了其它课程。目前在中国，父母们想让他们的孩子学英语，做生意，赚更多的钱。而这些竞赛是不给钱的。我想，如果哪一年这种培训方面他们投入得少了，中国队的成绩就可能立刻下跌。你能对一个拥有12亿人口的国家做什么？这意味着生活水平不会很高，如果你有任何社会正义。

陈：我不认为我高瞻远瞩。我只是在做一些小问题。数学中涌现出许多概念和新思想，你只是提出一些问题，然后尽力得到简单的答案，并期望给出简单的证明。

J：您是通过观察产生想法的吗？

陈：对，在大多数情况下，你什么想法也没有。而在许多情况下，你的想法也行不通。

J：您把自己描述为一个解题者，而不是理论创立者？

陈：我认为这种差异是很小的。每一个好的数学家都应该是一个解题者。不然的话，你仅有模糊的想法，如何能做出杰出的贡献？你解决了某些问题，你使用了某些概念，你可能需要等待才能看到数学贡献中的优点。你只能在将来才能看到。

要评估一个数学家或数学的某个方面是很困难的。如可微性的概念。二三十年以前，许多人不喜欢可微性。许多人对我说：“我对任何带有可微性概念的学一概不感兴趣。”这些人想使数学变得简单。如果拒绝接纳涉及到可微性的概念，你就排除了许多数学。这就不够了，Newton (牛顿)、Leibniz (莱布尼茨) 应该发挥其作用。不过这是有趣的，因为在数学中有许多有争议的想法。

J：您可以举几个数学中有争议想法的例子吗？

陈：一件事是当今一些论文太长了。如“有限单群”的分类。谁会愿意去念1000多页的证明？或还有四色问题的证明。我想人们必须使数学有趣些。

我认为数学不会很快消亡。在一段时间里它到处存在，因为它还有许多美妙的事情要做。我不相信可以由一群人来做数学。基本上这是一种个人行为。从而也容易开展。数学不需要太多的设备，它不像其它科学。它们比起数学来需要更多的物质设备。所以数学可以持续一段时间。我不知道人类文明能持续多长时间。比起数学来，那是一个大得多的问题。但是就数学本身，我们还要与它相处一段时间。

陈：Finsler几何比起Riemann几何要来得广泛得多，而且能用优雅的方法进行处理。它将是大学未来10年微分几何基本课程里的内容。

在数学上我没有什么困难，所以当我做数学时，我是在享受它。因此，我一直在做数学研究，另一方面是因为其他事情我做不了。我已经退休多年了，还有人问我是否仍在研究数学。我想我的答复是：这是我唯一能做的一件事，其他的事我也做不了。我一生都是这样。

译注：在本文中还夹插着Allyn Jackson的一篇短文，题为“湾区荣耀：以陈省身命名的荣誉教授头衔”。