今年5月末，一位儿时因七巧板爱上破解谜题、进而创造谜题的芬兰人，解决了一个数学上的百年谜题。在他之前，有一位中国的折纸和解谜高手也曾为破解这道难题做出重要贡献。

撰文 | 嘉伟

似乎人类很喜欢拼图类的游戏。在不同的文明中，各式各样的拼图玩具被不同时代的人反复发明。根据著名的《阿基米德重写本》（Archimedes Palimpsest），阿基米德曾将一个正方形分解成14块，思考如何将碎片以不同的方式重新组合在一起，形成一个正方形。源自中国的七巧板，更是给世界各地的儿童带来无限乐趣的益智玩具。今年5月末，一位儿时因七巧板爱上破解谜题、进而创造谜题的芬兰人，解决了一个数学上的百年谜题。

阿基米德的14块碎片拼正方形难题Ostomachion。丨图源：Dissection puzzle - Wikipedia

剖分谜题

在19世纪后期，当报纸和杂志开始刊登各种智力趣题填充版面时，这些谜题的受欢迎程度大大提高。美国的益智谜题创作者萨姆·劳埃德（Sam Loyd）和英国的亨利·杜德尼（Henry Dudeney）是最受欢迎的出题人。从那时起，拼图和相关衍生谜题就被用于娱乐和数学教育。劳埃德曾向公众发起智力挑战：一个木匠需要将一个主教冠形状（一个正方形切去1/4，即剔除一个等腰直角三角形后）的木板切割成几块（要求块数最小），才能经过再拼接，重组成一个小正方形？劳埃德后来给出了自己的答案，遗憾的是，他的构造并不正确。劳埃德认为分成适当的4小块，便已足够。

图中人手中拿着的那个东西就是所谓的主教冠mitre形状。|图源：Sam Loyd's Cyclopedia of Puzzles (jwstelly.org)

在数学上，将正多边形和其他简单的几何形状分解成若干块，然后重新拼成另一种形状，叫做平面面积剖分（Dissection）。剖分可以说是拼图游戏的专业升级版：玩家由借助已知的碎片完成拼图，升级到为了实现图形的重组，自行设计和切割出合适的碎片。剖分后来成为马丁·加德纳（Martin Gardner）1961年11月在《科学美国人》上发表的“数学游戏专栏”的主题。他在专栏里再次向公众介绍了劳埃德的问题——“主教冠问题”（Miter-Dissection Puzzle）。虽然读者们踊跃参与，但没有人能想出4块的拼法，人们至少要把原图形分解成5块，才能把它们重新拼出一个正方形。直到劳埃德过世百余年后的2024年5月27日，mathstodon社区一位名为Vesa Timonen的用户贴出了下图：

图源：vesatimonen.github.io

4块拼图

先解释一下图片里的内容。最上面一层是劳埃德在1901年提出的问题：把左侧的图形剖分后，重新拼成右侧的图形（正方形）。从上往下第二层是劳埃德自己给出的解答。从图里可以看到，他借助台阶错合的技巧，想要构造出正方形。但是，简单计算一下就知道无法得到正方形。第三层则是历史上亨利·杜德尼给出的5块剖分的构造。当然，除了杜德尼之外，还有其他人也给出了自己的5块剖分构造，其中包括国内一位名为傅薇的折纸和解谜高手。甚至在Vesa Timonen后来开列的参考文献里，就包括傅薇发表在微信公众号上的一篇文章《折纸思路新解百年数学题》（也就是文末参考资料2，作者给出了新颖的5块解法）。

Timonen认为傅薇的这篇文章，是在他之前对这个问题梳理得最好的文献。虽然他看不懂中文，但是借助翻译软件读完了全文。感兴趣的朋友可以找来一读，其中还有很详细的计算，可以解释为何劳埃德的方法行不通。同时，由于一直找不到4块剖分，一段时间以来，人们倾向于认为，不存在4块的解法……至于第四层，就是Timonen本人发现的4块剖分解法。想出剖分方法是很困难的，但是验证已有的方法则非常简单。数学界在初步检验过后，就有人疑惑道：Vesa Timonen是谁啊？他又是怎么做到的？

双重身份

Vesa Timonen拥有双重身份，白天按部就班地上班，干的是令自己讨厌的嵌入式软件工程师，晚上则是才华横溢的智力玩具谜题设计师。尽管他在数学圈子里毫无名气，但Timonen是芬兰最杰出的益智玩具设计师之一，也是为数不多的拼图设计师之一。甚至在国内的智力玩具（如巧环、鲁班锁这种）爱好者圈子里，也有很高的知名度。工作中的Vesa Timonen丨图源：https://pulmallinentapaus.blogspot.com/

他从小就对魔术感兴趣，但是随着年龄增长，他更愿意去破解魔术。后来，他的叔叔教他玩七巧板，他们开始一个接一个地解决七巧板的难题。等成年后，他开始自己设计谜题。他的许多作品都被Hanayama Cast系列收录。Hanayama是一家对于谜题爱好者来说非常有影响力的日本玩具公司。Timonen认为，任何人都可以通过不断尝试和分析失败来创造出独特的谜题。他还强调，失败是创作过程中的一部分，每次失败都会带来新的启示和灵感。

智力玩具设计师的笔记本上全是几何图形和数学计算丨图源：https://pulmallinentapaus.blogspot.com/

这一次，Timonen编写了一个软件，希望能借助现代计算机的算力系统地解决各种剖分问题。他选中的第一个问题就是主教冠问题，然后十分顺利地找到了答案。实际上，如果滑动边界，可以构造出无限多个4块剖分解法。

示意图（直观看起来图形可能边长不等，但实际上误差很小） 丨图源：THE MITRE DISSECTION PUZZLE (vesatimonen.github.io)

韩国延世大学的数学博士Jin-Hoo Ahn为Timonen的解法提供了一个无文字证明，大家可以欣赏一下。
图源：THE MITRE DISSECTION PUZZLE (vesatimonen.github.io)稍带一提，Jin-Hoo Ahn也是谜题爱好者，还会制造机关盒一类的智力玩具。或许就是因此和本文的主角有了交集。

更加数学

Timonen的4块剖分解里，有一个瑕疵：两边的绿色块其实是镜像对称的。也就是说，拼图的时候，绿色块没有区分正反面。Timonen尝试寻找不包含镜像对称的剖分方法，但始终未能成功。相反，程序找到了50多个不带镜像对称的5块解法。所以，或许并不存在4块非镜像的剖分解法，但我们还未能证明这一点。这也是这道百年谜题所缺失的最后一块拼图。

在数学上，我们有著名的华勒斯-波埃伊-格维也纳定理（Wallace-Bolyai-Gerwien Theorem，1807）：对于任意两个多边形，都可以把其中一个分割成有限多个小多边形，并经过平移和旋转，拼合成第二个大多边形。上述定理保证了剖分的可行性，但是当把“有限个”限制到具体的数值时（比如说今天的问题是4块），就无法保证仅靠平移和旋转就能拼合成功。翻转小块得到镜像，或许是必要的操作。除了限制翻转-镜像的使用之外，人们有时对剖分加上一些更强的限制。如著名的铰接式剖分Hinged dissection。

在几何中，铰接式剖分（又称摆动铰链式剖分或杜德尼剖分）的所有部分都通过“铰链”的接点连成整体。如此一来，从一个图形到另一个图形的重新排列可以通过连续摆动链来进行，而不会（也不能）切断任何连接。通常情况下，我们假定在折叠和展开过程中允许碎片重叠。铰接式剖分的概念是由前文提到的亨利·杜德尼推广的。他在1907年出版的《坎特伯雷谜题》（The Canterbury Puzzles） 一书中，介绍了著名的将正方形用铰链剖成三角形的方法。
图源：Hinged dissection - Wikipedia

然而，是否能把华勒斯-波埃伊-格维也纳定理推广到铰接式剖分上呢？亦即两个面积相等的多边形，是否必然能通过一个铰接式剖分化为彼此？这个问题一直悬而未决。直到 2007 年，Erik Demain等人证明了必定存在这样的铰接式剖分，并提供了一种生成铰接式剖分的构造算法。即使要求摆动时组件不会重叠，这个证明也是成立的，而且可以推广到任何一对有共同剖面的三维图形。然而，在三维空间中，并不能保证组件重组时不会彼此重叠。二维平面上重叠的话，在物理上是很容易实现的——只要理解成运动过程中分出上下两层便可。但是三维构件彼此重叠，则是物理上的刚体无法实现的。只能当成是数学上的无实体对象。

化圆为方

前面的讨论始终停留在直线构成的图形上，那么，由曲线围成的图形也能剖分重组吗？或许最终极的剖分问题，就是化圆为方。公元前450年左右，相信“理性统治世界”的哲学家、天文学家和数学家Anaxagoras，在因渎神而遭遇监禁的期间提出了一个现在著名的数学问题，即：仅使用圆规和没刻度的直尺，你能画出一个与给定圆等面积的正方形吗？这个问题在1882年有了答案，当时德国数学家费迪南德·冯·林德曼（Ferdinand von Lindemann）证明，这是一个尺规作图不能问题。他证明圆周率π是一种特殊的数字，称之为超越数（超越数还包括e）。原本故事可以在这里画上句号。但在1925年，人类历史上最重要的逻辑学家之一的阿尔弗雷德·塔斯基（Alfred Tarski）通过调整规则重新提出了这个问题。

他问，是否可以通过将一个圆盘切成有限数量的小块，用它们重新拼出一个正方形来？1988年，Miklós Laczkovich正面回答了塔斯基的问题：圆形可以剖分后重新配置为正方形，大概需要把圆分解成1050个碎片。但是相当长的一段时间以来，化圆为方的剖分方法里总是涉及一些无法直观展示和可构造的成分：存在面积无法定义（勒贝格不可测集）的碎片和面积为0的碎片（零测度集）。直到前几年，加州大学洛杉矶分校的数学家Andrew Marks与现在在多伦多大学的Spencer Unger才提供了第一个完全构造性的化圆为方的证明：每个碎片都有明确的面积，无一例外。

代价是，他们要把圆分解成10200个碎片，同时虽然理论上是可构造的，但过程太复杂，无法进行展示。2022年2月，华威大学的Andras Máthé和Oleg Pikhurko以及维多利亚大学的Jonathan Noel在网上发表的一篇论文为这一古老的问题添加了新的内容。他们的作品虽然也把圆分为约10200块，但形状更简单，更容易形象化。甚至可以做成演示视频（见文末参考[9]）。数学家已经有了进一步简化拼图碎片的想法，减少总数和不均匀性。Marks做过的计算机模拟实验表明——但未证明——分解可以至多用22块来完成。他认为最低数字可能会更低。“我敢打赌，你可以用不到20块来化圆为方。”他说，“但我不会赌上1000美元。”

参考资料

[1] Sam Loyd's Cyclopedia of Puzzles (jwstelly.org)

[2] 折纸思路新解百年数学题 (qq.com)[3] THE MITRE DISSECTION PUZZLE (vesatimonen.github.io)[4] Pulmallinen tapaus：Vesa Timonen访谈[5] Hinged dissection - Wikipedia[6] An Ancient Geometry Problem Falls to New Mathematical Techniques | Quanta Magazine[7] Dissection -- from Wolfram MathWorld[8] Vesa Timonen: "Dissecting a mitre. #dissectio…" - Mathstodon[9] 度量几何 演示 塔斯基化圆为方问题的解_哔哩哔哩_bilibili