百年前日本数学家挂谷宗一提出了一个趣味性的平面几何谜题。当把题目中平面的条件推广至一般的n维空间后，则由此发展出了名为“挂谷猜想”的重要命题。分析学家随后意识到，挂谷猜想与当代数学领域里最重大的未解决问题之一紧密相连，故而其成为几何测度论的核心，为这一新兴领域开辟了广阔的研究空间。然而，长久以来数学界仅解决了2维空间里的挂谷猜想，3维空间就像是坚不可摧的堡垒，人类发展至今的数学武器均难竟全功——直到2025年2月末，王虹和约书亚·扎尔发表了一篇震动数学界的论文。
撰文 | 嘉伟
如厕时遭偷袭的日本武士与黎曼积分
数学是用简单的词语来表达艰深思想的科学。
——爱德华·卡斯纳（Edward Kasner）和詹姆斯·纽曼（James Newman）
这就像是剧透，2025年第二个月份还余下几天未过完，数学界仿佛就看到了今年全年度最重要的数学成果：年仅34岁的纽约大学柯朗数学研究所副教授王虹与不列颠哥伦比亚大学的约书亚·扎尔（Joshua Zahl）合作，在预印本网站arXiv上提交了一篇长达127页的论文，宣告证明了三维挂谷猜想（Kakeya Conjecture）。
王虹和约书亚·扎尔在arXiv发布的论文预印本，宣称证明了3维挂谷猜想|图源：[2502.17655] Volume estimates for unions of convex sets, and the Kakeya set conjecture in three dimensions
挂谷猜想脱胎于著名的转针趣题。1917年，日本数学家挂谷宗一 (Soichi Kakeya，1886-1947）提出了被后世以他的姓氏命名的著名问题：
在某些图形中，长度为1个单位的线段（一根针）可以转过180°，在这个过程中该线段总是保持在该图形之内，在所有这样图形里，哪种图形具有最小面积？需要注意的是，沿着线段方向前后移动，此时线段并未扫过任何面积。
据说挂谷的灵感来自遭到偷袭的日本武士，他把武士刀抽象成理想的不占空间的长针，同时为了方便，把问题限制在2维平面上。挂谷评注道：
日本武士有一把长刀用于自卫，他需要能够在任何空间内自由地挥舞武士刀，无论空间大小如何一一即使是在茅房里。
注：关于挂谷转针问题的原始表述和相关历史，不同文献给出的记录稍有差异，这里为了表述方便，采用上海科技教育出版社出版的“发现数学丛书”系列中朱利安·哈维尔（Julian Havil）所著的《不可思议:有悖直觉的难题及其令人惊叹的解答》一书的说法。
挂谷宗一罕见的个人肖像照 | 图源：东京大学研究生院数学科学研究科珍藏的影像资料
一个半径为0.5的圆是最容易想到的可满足条件的图形，但它显然不是所有满足条件的图形里面积最小的。
挂谷和他的同事以及其他一些人最初就推测，一个高为1的等边三角形就是能满足题中条件、具有最小面积的凸图形。极有才华和抱负的匈牙利裔数学家朱利尔斯·鲍尔（Julius Pál）从匈牙利波兹索尼（现斯洛伐克首都布拉迪斯拉发）迁居到了丹麦的哥本哈根，并在1921年发表了相关证明，确认高为1的等边三角形就是满足挂谷条件的面积最小的凸形。
等边三角形就是满足挂谷条件的面积最小的凸形。| 图源：《不可思议:有悖直觉的难题及其令人惊叹的解答》，第13章
资助鲍尔定居哥本哈根的是数学家哈拉尔·玻尔（Harald Bohr）——物理学家、量子理论先驱尼尔斯·玻尔（Niels Bohr）之弟。极有可能正是这位数学家玻尔向鲍尔介绍了挂谷的转针谜题。
另一方面，挂谷和早期研究者猜测，对于非凸的图形，答案指向三尖瓣线。它是内摆线家族中的一个特殊成员。不过不久之后，人们就意识到还有面积更小的图形。
三尖瓣线丨图源：Kakeya set - Wikipedia
同样在1917年，来自俄罗斯的数学家艾伯拉姆·贝西科维奇（Abram Besicovitch）解决了一个看似不同的问题。颇具巧合意味的是，贝西科维奇同样前往丹麦寻求研究职位，而他的主要资助者也是哈拉尔·玻尔。
又过了好几年，贝西科维奇才听说了挂谷那个“具有引人入胜的表述直观性”的谜题，并且提供了一个完全不同寻常、完全出人意料的解答。
1917年，贝西科维奇当时在思考下面的黎曼积分问题：
假如在平面上有一个黎曼可积的函数f，那么是否必定存在着一个直角坐标系（x，y），使得对于每一个固定的y，f（x，y）作为以x为变量的函数黎曼可积，并且f的二次积分就等于重积分∫∫f(x, y)dxdy？
贝西科维奇为了回答上述问题，构建了这样一个集合：一个包含了指向所有方向的单位线段，但面积（严格来说是勒贝格测度）为0的图形。
这个集合被命名为贝西科维奇集（Besicovitch set）。因为这种线段集合的存在，所以上述问题的答案是否定的。
今天站在后来人的视角，可以看出这个问题本质上是对实分析中的重要定理——Fubini定理的探索和挖掘。然而数学的魅力往往就在于它的出人意料，在贝西科维奇集上应用所谓的“鲍尔连接”（前文提过的那位鲍尔），竟然可以证明，挂谷转针问题的答案是：不存在一个面积最小的图形，因为针扫过的面积可以任意地接近于0。
如此一来，殊途同归，分析学上的积分问题就和平面上的几何问题建立起奇妙的联系，贝西科维奇集也因此被称为挂谷集（Kakeya set）。
此外值得一提的是，网络上常见的科普文章，以及一些出版物会犯一个错误。很多人误以为面积为0的贝西科维奇集的存在性本身，可以直接推出“针扫过的最小面积可以是0”这一结论。但是，把指向所有方向的针直接摆放到一起得到的图形，和把一根针连续旋转180°扫过的图形是两码事。实际上，针无法从贝西科维奇集里的一个位置连续地变到另一位置，且使扫过的面积是0。所以才需要“鲍尔连接”的技巧，同时，结论是针扫过的面积可以任意小，但并非为0。
挂谷猜想——从面积到维度
在实数中，对象可能非常接近零，但实际上却不是零。不知何故，这就是技术的症结所在。
——约书亚·扎尔（不列颠哥伦比亚大学）
构造贝西科维奇集的方法有很多，最经典的是被称为“佩龙树”的技巧，它能够简化贝西科维奇的原始构造，以奥斯卡·佩龙（Oskar Perron）命名。
想象一个高为1的等边三角形（还记得这种三角形是最小的满足挂谷问题的凸形吗），把它平分，再把两个直角三角形稍微叠在一起，如下图。这个新图形面积比三角形小，但在其中，上面两个尖角的每个角内都能找出长度≥1的线段。
现在重新开始，把三角形平均分为 8 个，把它们两两叠在一起，再两两叠在一起，这种图形就叫作佩龙树。如果重复这个步骤，把三角形分为 16 个，32 个，……， 2n 个，显然整个图形的面积可以越来越小，并且可以证明随着步骤增长，图形面积无限趋近于0。
佩龙树的构造过程 | 图源：Kakeya set - Wikipedia
这样挂谷的转针问题似乎得到了完全的解决。所以这又是一个非常有趣、非常有难度的娱乐性数学问题。但也就仅此而已了吗？错！
应用平面上的贝西科维奇集解决了转针趣题之后，数学家开始关注这个集合本身的性质，尤其是它们的分形维度。
由于它包含任意方向的单位向量，直觉上，该集合的维度不应该小于2。这就是最初的挂谷猜想。事实上对于零测集来说，维数有不止一种定义。总的来说我们用得最多的还是豪斯道夫（Hausdorff）维数和闵可夫斯基（Minkowski）维数。我们这里只介绍前者。
分形结构（Fractal Structure）是一种自相似的几何图形，即无论放大或缩小多少倍，都能看到相同或类似的形状。分形结构具有无限的复杂度和细节，常常出现在自然界中，比如雪花、树叶、海岸线等。
有研究表明，当事物的形态出现某种自我重复的模式时，会在我们的大脑里唤起轻松的感觉，从而降低压力，让我们感到舒缓放松。人类文明早在懵懂之中，就下意识地学会利用这一特征：想一想家里床单、墙纸和窗帘上的图案。这被称为“分形流畅性”。原理大概是重复的视觉元素可以降低大脑处理视觉信息时所用到的运算资源，所以会令人感到轻松愉悦。
分形Gosper曲线的自身重复式构造 | 图源：Fractal curve - Wikipedia
分形的存在维度不是一个整数。我们可以用豪斯道夫维数定义它。不管被测图形多么复杂，我们总能用一块块半径为e的小圆形覆盖（允许彼此部分重叠）住它（因为我们可以用小圆形覆盖住全平面，所以当然可以覆盖住平面上的任意图形）。
演示分形维度的逼近计算方式 | 图源：Hausdorff dimension - Wikipedia
我们考虑覆盖住被测图形的小圆的个数N（e），然后考虑对数运算[LogN(e)/Log(1/e)]，当e趋于0时的极限就是分形的豪斯道夫维数。容易验证，当被测图形足够规整的时候，豪斯道夫维数就是通常意义的维数。
回到挂谷猜想，在经历了半个世纪的探索后，1971年罗伊·戴维斯（Roy Davies）成功证明，平面上的贝西科维奇集的豪斯道夫维数和闵可夫斯基维数正好是2。由于1维的情况是平凡的，数学家进一步猜测，对于任意正整数n，
在n维欧几里得空间中，包含所有方向的单位向量的集合，其闵可夫斯基维数和豪斯多夫维数是否都等于n？
这就是挂谷猜想的完整表述。对于3维以及更高维度的情形，它就像是难以攻略的碉堡，阻挡着一代又一代数学家的攻势。因为n维空间本身肯定包含了所有方向的单位向量，所以这里的难点其实是高维的贝西科维奇集（挂谷集）——占据“体积”为0，但又包含了所有方向上单位向量的集合——的维度是否足够“大”，能够和空间本身相等。尽管包括托马斯·沃尔夫（Thomas Wolff）、让·布尔甘（Jean Bourgain，1994年菲尔兹奖得主）、内茨·卡茨（Nets Katz）、陶哲轩等在内的数学家都曾在此领域取得重要的阶段性成果，但即便对于n=3这一最简单的特殊情况，仍是力有不逮。
化无限为有限，挂谷猜想的真正价值
如果你觉得这个简单，那你就误解了这个问题。
——C++语言之父 本贾尼·斯特劳斯特卢普（Bjarne Stroustrup）
虽然对挂谷猜想的研究催生了几何测度论这一现代数学分支学科，但直到1971年查理斯·费夫曼（Charles Fefferman，1978年菲尔兹奖得主）在论文“The Multiplier Problem for the Ball”中指出该猜想和现代调和分析领域的联系之前，数学界普遍把它视作是一个难度超高的趣味性问题——亦即严肃性和内涵不足，研究它单纯是为了满足学者的好奇心和欣赏数学纯粹之美的审美目的。
其实，注意到1917年贝西科维奇思考的那个积分问题和挂谷转针问题联系在一起，那么，如果挂谷猜想和现代调和分析里最重要的课题之间存在联系，也不至于让我们大吃一惊。
按《10000个科学难题·数学卷》一书的说法，挂谷集（贝西科维奇集）与调和分析、数论、偏微分方程等多个分支产生了深刻的联系，例如在调和分析的振荡积分理论和Dirichlet级数的分布中都发挥着重要作用，同时与波动方程解的局部光滑性有密切联系。
实际上，贝西科维奇集的维数信息将决定一系列数学猜想的生死。这些数学猜想鲜为人知，在公众舆论中毫无名气。但在数学家眼里，它们的重要性丝毫不低于著名的黎曼猜想。可以说，贝西科维奇集的几何形状支撑起了偏微分方程、调和分析和其他领域的大量课题。其中最引人注目的是，该猜想是分析学中三大环环相套的中心猜想成立的必要条件。
具体来说，在傅里叶分析里有所谓的限制猜想和Bochner-Riesz猜想，在更大的领域里还有局部平滑猜想。包含和难度递进关系如下：
挂谷猜想⊂限制猜想⊂Bochner-Riesz猜想⊂局部平滑猜想
这也意味着，一旦挂谷猜想不成立，则后续几个猜想全不成立。现代分析学家就可以含泪休息了。
这组数学猜想的重要性本质上源于傅里叶变换的重要性。傅里叶变换可以将几乎所有函数表示为正弦波的和。它是物理学家和工程师最强大的数学工具，可与其相提并论的或许只有矩阵理论；重要性还要高的，应该就只剩加减乘除四则运算法则这一类基础常识了。
傅里叶变换是求解微分方程最主要的工具，也是不确定性原理等量子力学思想背后的数学基础，同时它在实际应用上也具有无与伦比的价值，在分析和处理信号方面发挥了重要作用，使现代手机等事物成为可能。
从限制猜想到局部平滑猜想，各在不同程度上制约了傅里叶变换的“误差”，所以数学家和工程师肯定更愿意生活在这些猜想为真的世界里，因为在这样的世界里，傅里叶变换带来的“误差”总是可以“控制”的，起码不会糟糕到超出预期。
此外，数学家们惊讶地发现，调和分析里用于上述猜想的技术也可以用来证明看似不相关的数论领域的主要结果（可以推动黎曼猜想的证明）。
水涨船高，当挂谷猜想和分析学的中心课题建立起联系之后，也收获了更多的关注。不过遗憾的是，它太难了。单说n=3时的特殊情况，直到1995年，托马斯·沃尔夫仅能证明3维空间中的贝西科维奇集的豪斯道夫和闵可夫斯基维数必须至少为 2.5。这一下限很难提高。到1999 年，陶哲轩和合作者才突破了闵可夫斯基维数，得到新的下界：2.500000001。尽管仅仅改进了0.000000001，但它是从无到有的成就。因此他们的论文被《数学年刊》（Annals of Mathematics）刊发，这是数学领域里四大顶级刊物之一。
在陶哲轩等人的这篇论文之后，再次取得突破的就是本文开头提及的两位学者——王虹和扎尔——他们于2022年沿用陶哲轩等人的框架，并创造性地引入投影理论，最终在一类特殊的贝西科维奇集上证明了3维空间里的挂谷猜想！他们因此被认为是对贝西科维奇集理解最深刻的人。
理解最深刻的人
（选择研究方向）还是看兴趣吧，有兴趣就读，没兴趣也没必要读……
——王虹，纽约大学柯朗数学研究所
2023年7月，王虹在母校作学术报告 | 图源：北京国际数学研究中心
现年34岁的王虹在16岁时就以高考653分的成绩顺利地考入北京大学地球与空间科学系。后来出于对数学的浓厚兴趣，她转到了数学系。
在麻省理工学院读博期间，她师从著名数学家拉里·古斯（Larry Guth，与前面提及的陶哲轩等人一样，是几何测度论和分析领域的顶级权威），开始深入研究调和分析领域。于2023年7月起，她在纽约大学柯朗数学研究所担任副教授。
扎尔则是陶哲轩的学生，他于2013年拿到博士学位。两人在各个大问题上都做出了极为重要的工作。他们的学术成就，得到了国际数学界的高度认可。
约书亚·扎尔丨图源：personal.math.ubc.ca/~jzahl/
2020年王虹、古斯和欧雨濛合作推动了Falconer's distance set problem (Inventions)；2023年王虹和Kevin Ren完全解决了Furstenberg set conjecture。而在2020年左右，Furstenberg猜想，做分形几何的学者还普遍认为这是一个难以解决或者说目前还没有工具可以解决的问题。今天，王虹和扎尔又宣布解决了3维挂谷问题；令人忍不住期待完全解答Falconer's distance set problem的一天！以至于去年上半年，就有提名王虹为菲尔兹奖候选人的呼声。
Furstenberg set conjecture是分形几何领域内的著名数学难题。具体来说，这个猜想与豪斯多夫维数相关，涉及集合的复杂度和大小。该猜想提出，对于一个集合上的特定几何结构（如在平面中由直线组成的集合），其豪斯多夫维数必须满足某种条件。从描述上也能看出来，它和挂谷猜想非常之像。具体而言，如果一个集合在不同方向的投影都具有某种结构，那么该集合的整体维数应该有一个下限。这个猜想在数学界被广泛研究，因为它不仅涉及集合论和几何，还与动力系统和数论等领域有关。
在王虹的论文发表后，预测市场平台认为其极有可能获得明年数学界的最高奖项——菲尔兹奖丨图源：https://manifold.markets/nathanwei/who-will-win-the-2026-fields-medals
王虹和扎尔的最新论文更是篇幅浩帙（127页）。作者把他们2022年 (Sticky Kakeya sets and sticky Kakeya conjecture) 和2024年 (The Assouad dimension of Kakeya sets in R³) 两篇文章与这篇一起称为三部曲。在介绍部分，作者写到他们的证明是基于并实现了在“Katz-Tao program”框架里解决挂谷猜想的思路。
由于分析技术处理不了指向所有方向的单位向量，应用调和分析的工具，首先就要把问题离散化。基本思路就是，赋予单位向量一个“宽度”——不再把它们当成理想的无宽度的几何线段，而是真实的实体针。同时他们计算出贝西科维奇集在集合的向量元素被赋予宽度后，获得的体积。在比较了宽度与实体针的数值关系后，借助反证法，可以得到一个矛盾，进而推出猜想是成立的。
实际证明过程中，难免出现一些例外情况，它们的结构是非常“丑陋”的，需要一点点分析。从文章篇幅也可以看出，这个过程并不轻松。
如果王虹和扎尔的论文最终通过同行评审，那么其成果可以说是划时代的，很多学者认为王虹或将成为首位荣获数学界最高荣誉——菲尔兹奖的中国籍数学家。考虑到论文起码需要一年的审核时间，她在2030年获奖（彼时尚不超过获得该奖的40岁年龄限制），笔者认为这个可能性不是一般的大。
在不远的未来，中国数学家将以其独到的创新思维和严谨的研究方法迅速崛起，逐步在全球数学版图上占据举足轻重的地位。同时，越来越多才华横溢、勇于突破传统局限的女性数学家已经崭露头角，她们，如璀璨星辰，用非凡的智慧为世界数学的发展注入源源不断的新能量。
致谢：感谢美国南密西西比大学丁玖教授和加州理工学院倪亿教授对本文提出的若干修改意见。
参考文献
[1] Hong Wang, Joshua Zahl, The Assouad dimension of Kakeya sets in R³, arXiv:2401.12337
[2] Hong Wang, Shukun Wu, Restriction estimates using decoupling theorems and two-ends Furstenberg inequalities, arXiv:2411.08871
[3] Terry Tao, The three-dimensional Kakeya conjecture, after Wang and Zahl, What's new
[4] Kevin Ren, Hong Wang, Furstenberg sets estimate in the plane, arXiv:2308.08819
[5] 東雲博士不会PDE, 组合学的多项式方法：有限域Kakeya猜想, 知乎
[6] 5岁上学两次跳级——花季少女16岁考上北大秘诀, 新浪网
[7] Fefferman, Charles. "The multiplier problem for the ball." Annals of mathematics 94.2 (1971): 330-336.
[8] Jordana Cepelewicz, A Tower of Conjectures That Rests Upon a Needle, Quanta Magazine
[9] Jordana Cepelewicz, New Proof Threads the Needle on a Sticky Geometry Problem, Quanta Magazine
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